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| 0880 | 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 72 65 6c 61 74 65 64 20 74 6f 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 65 64 67 65 2d | rmation.related.to.the.....edge- |
| 08a0 | 63 6f 6e 6e 65 63 74 69 76 69 74 79 20 6f 66 20 61 20 67 72 61 70 68 3b 20 22 4d 61 6e 79 20 70 | connectivity.of.a.graph;."Many.p |
| 08c0 | 72 6f 62 6c 65 6d 73 20 61 62 6f 75 74 20 67 72 61 70 68 73 20 63 61 6e 20 62 65 20 72 65 64 75 | roblems.about.graphs.can.be.redu |
| 08e0 | 63 65 64 20 74 6f 0a 20 20 20 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 73 20 6f 66 20 66 69 6e 64 69 6e 67 20 61 | ced.to.....problems.of.finding.a |
| 0900 | 6e 64 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 54 75 74 74 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 | nd.evaluating.the.Tutte.polynomi |
| 0920 | 61 6c 20 61 74 20 63 65 72 74 61 69 6e 20 76 61 6c 75 65 73 22 20 5b 31 5d 5f 2e 0a 20 20 20 20 | al.at.certain.values".[1]_...... |
| 0940 | 49 6e 20 66 61 63 74 2c 20 65 76 65 72 79 20 64 65 6c 65 74 69 6f 6e 2d 63 6f 6e 74 72 61 63 74 | In.fact,.every.deletion-contract |
| 0960 | 69 6f 6e 2d 65 78 70 72 65 73 73 69 62 6c 65 20 66 65 61 74 75 72 65 20 6f 66 20 61 20 67 72 61 | ion-expressible.feature.of.a.gra |
| 0980 | 70 68 20 69 73 20 61 0a 20 20 20 20 73 70 65 63 69 61 6c 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 | ph.is.a.....specialization.of.th |
| 09a0 | 65 20 54 75 74 74 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 5b 32 5d 5f 20 28 73 65 65 20 4e 6f 74 | e.Tutte.polynomial.[2]_.(see.Not |
| 09c0 | 65 73 20 66 6f 72 20 65 78 61 6d 70 6c 65 73 29 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 72 65 20 61 72 65 | es.for.examples).......There.are |
| 09e0 | 20 73 65 76 65 72 61 6c 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 20 64 65 66 69 6e 69 74 69 6f 6e 73 3b | .several.equivalent.definitions; |
| 0a00 | 20 68 65 72 65 20 61 72 65 20 74 68 72 65 65 3a 0a 0a 20 20 20 20 44 65 66 20 31 20 28 72 61 6e | .here.are.three:......Def.1.(ran |
| 0a20 | 6b 2d 6e 75 6c 6c 69 74 79 20 65 78 70 61 6e 73 69 6f 6e 29 3a 20 46 6f 72 20 60 47 60 20 61 6e | k-nullity.expansion):.For.`G`.an |
| 0a40 | 20 75 6e 64 69 72 65 63 74 65 64 20 67 72 61 70 68 2c 20 60 6e 28 47 29 60 20 74 68 65 0a 20 20 | .undirected.graph,.`n(G)`.the... |
| 0a60 | 20 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 76 65 72 74 69 63 65 73 20 6f 66 20 60 47 60 2c 20 60 45 60 | ..number.of.vertices.of.`G`,.`E` |
| 0a80 | 20 74 68 65 20 65 64 67 65 20 73 65 74 20 6f 66 20 60 47 60 2c 20 60 56 60 20 74 68 65 20 76 65 | .the.edge.set.of.`G`,.`V`.the.ve |
| 0aa0 | 72 74 65 78 20 73 65 74 20 6f 66 0a 20 20 20 20 60 47 60 2c 20 61 6e 64 20 60 63 28 41 29 60 20 | rtex.set.of.....`G`,.and.`c(A)`. |
| 0ac0 | 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 63 6f 6e 6e 65 63 74 65 64 20 63 6f 6d 70 6f 6e 65 6e | the.number.of.connected.componen |
| 0ae0 | 74 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 67 72 61 70 68 20 77 69 74 68 20 76 65 72 74 65 78 0a 20 20 20 20 | ts.of.the.graph.with.vertex..... |
| 0b00 | 73 65 74 20 60 56 60 20 61 6e 64 20 65 64 67 65 20 73 65 74 20 60 41 60 20 5b 33 5d 5f 3a 0a 0a | set.`V`.and.edge.set.`A`.[3]_:.. |
| 0b20 | 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 0a 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 5f 47 28 78 2c 20 79 29 | .......math::..........T_G(x,.y) |
| 0b40 | 20 3d 20 5c 73 75 6d 5f 7b 41 20 5c 69 6e 20 45 7d 20 28 78 2d 31 29 5e 7b 63 28 41 29 20 2d 20 | .=.\sum_{A.\in.E}.(x-1)^{c(A).-. |
| 0b60 | 63 28 45 29 7d 20 28 79 2d 31 29 5e 7b 63 28 41 29 20 2b 20 7c 41 7c 20 2d 20 6e 28 47 29 7d 0a | c(E)}.(y-1)^{c(A).+.|A|.-.n(G)}. |
| 0b80 | 0a 20 20 20 20 44 65 66 20 32 20 28 73 70 61 6e 6e 69 6e 67 20 74 72 65 65 20 65 78 70 61 6e 73 | .....Def.2.(spanning.tree.expans |
| 0ba0 | 69 6f 6e 29 3a 20 4c 65 74 20 60 47 60 20 62 65 20 61 6e 20 75 6e 64 69 72 65 63 74 65 64 20 67 | ion):.Let.`G`.be.an.undirected.g |
| 0bc0 | 72 61 70 68 2c 20 60 54 60 20 61 20 73 70 61 6e 6e 69 6e 67 0a 20 20 20 20 74 72 65 65 20 6f 66 | raph,.`T`.a.spanning.....tree.of |
| 0be0 | 20 60 47 60 2c 20 61 6e 64 20 60 45 60 20 74 68 65 20 65 64 67 65 20 73 65 74 20 6f 66 20 60 47 | .`G`,.and.`E`.the.edge.set.of.`G |
| 0c00 | 60 2e 20 4c 65 74 20 60 45 60 20 68 61 76 65 20 61 6e 20 61 72 62 69 74 72 61 72 79 20 73 74 72 | `..Let.`E`.have.an.arbitrary.str |
| 0c20 | 69 63 74 0a 20 20 20 20 6c 69 6e 65 61 72 20 6f 72 64 65 72 20 60 4c 60 2e 20 4c 65 74 20 60 42 | ict.....linear.order.`L`..Let.`B |
| 0c40 | 5f 65 60 20 62 65 20 74 68 65 20 75 6e 69 71 75 65 20 6d 69 6e 69 6d 61 6c 20 6e 6f 6e 65 6d 70 | _e`.be.the.unique.minimal.nonemp |
| 0c60 | 74 79 20 65 64 67 65 20 63 75 74 20 6f 66 0a 20 20 20 20 24 45 20 5c 73 65 74 6d 69 6e 75 73 20 | ty.edge.cut.of.....$E.\setminus. |
| 0c80 | 54 20 5c 63 75 70 20 7b 65 7d 24 2e 20 41 6e 20 65 64 67 65 20 60 65 60 20 69 73 20 69 6e 74 65 | T.\cup.{e}$..An.edge.`e`.is.inte |
| 0ca0 | 72 6e 61 6c 6c 79 20 61 63 74 69 76 65 20 77 69 74 68 20 72 65 73 70 65 63 74 20 74 6f 0a 20 20 | rnally.active.with.respect.to... |
| 0cc0 | 20 20 60 54 60 20 61 6e 64 20 60 4c 60 20 69 66 20 60 65 60 20 69 73 20 74 68 65 20 6c 65 61 73 | ..`T`.and.`L`.if.`e`.is.the.leas |
| 0ce0 | 74 20 65 64 67 65 20 69 6e 20 60 42 5f 65 60 20 61 63 63 6f 72 64 69 6e 67 20 74 6f 20 74 68 65 | t.edge.in.`B_e`.according.to.the |
| 0d00 | 20 6c 69 6e 65 61 72 20 6f 72 64 65 72 0a 20 20 20 20 60 4c 60 2e 20 54 68 65 20 69 6e 74 65 72 | .linear.order.....`L`..The.inter |
| 0d20 | 6e 61 6c 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 6f 66 20 60 54 60 20 28 64 65 6e 6f 74 65 64 20 60 69 28 | nal.activity.of.`T`.(denoted.`i( |
| 0d40 | 54 29 60 29 20 69 73 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 65 64 67 65 73 0a 20 20 20 20 | T)`).is.the.number.of.edges..... |
| 0d60 | 69 6e 20 24 45 20 5c 73 65 74 6d 69 6e 75 73 20 54 24 20 74 68 61 74 20 61 72 65 20 69 6e 74 65 | in.$E.\setminus.T$.that.are.inte |
| 0d80 | 72 6e 61 6c 6c 79 20 61 63 74 69 76 65 20 77 69 74 68 20 72 65 73 70 65 63 74 20 74 6f 20 60 54 | rnally.active.with.respect.to.`T |
| 0da0 | 60 20 61 6e 64 20 60 4c 60 2e 0a 20 20 20 20 4c 65 74 20 60 50 5f 65 60 20 62 65 20 74 68 65 20 | `.and.`L`......Let.`P_e`.be.the. |
| 0dc0 | 75 6e 69 71 75 65 20 70 61 74 68 20 69 6e 20 24 54 20 5c 63 75 70 20 7b 65 7d 24 20 77 68 6f 73 | unique.path.in.$T.\cup.{e}$.whos |
| 0de0 | 65 20 73 6f 75 72 63 65 20 61 6e 64 20 74 61 72 67 65 74 20 76 65 72 74 65 78 0a 20 20 20 20 61 | e.source.and.target.vertex.....a |
| 0e00 | 72 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 2e 20 41 6e 20 65 64 67 65 20 60 65 60 20 69 73 20 65 78 74 65 | re.the.same..An.edge.`e`.is.exte |
| 0e20 | 72 6e 61 6c 6c 79 20 61 63 74 69 76 65 20 77 69 74 68 20 72 65 73 70 65 63 74 20 74 6f 20 60 54 | rnally.active.with.respect.to.`T |
| 0e40 | 60 20 61 6e 64 20 60 4c 60 0a 20 20 20 20 69 66 20 60 65 60 20 69 73 20 74 68 65 20 6c 65 61 73 | `.and.`L`.....if.`e`.is.the.leas |
| 0e60 | 74 20 65 64 67 65 20 69 6e 20 60 50 5f 65 60 20 61 63 63 6f 72 64 69 6e 67 20 74 6f 20 74 68 65 | t.edge.in.`P_e`.according.to.the |
| 0e80 | 20 6c 69 6e 65 61 72 20 6f 72 64 65 72 20 60 4c 60 2e 20 54 68 65 0a 20 20 20 20 65 78 74 65 72 | .linear.order.`L`..The.....exter |
| 0ea0 | 6e 61 6c 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 6f 66 20 60 54 60 20 28 64 65 6e 6f 74 65 64 20 60 65 28 | nal.activity.of.`T`.(denoted.`e( |
| 0ec0 | 54 29 60 29 20 69 73 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 65 64 67 65 73 20 69 6e 0a 20 | T)`).is.the.number.of.edges.in.. |
| 0ee0 | 20 20 20 24 45 20 5c 73 65 74 6d 69 6e 75 73 20 54 24 20 74 68 61 74 20 61 72 65 20 65 78 74 65 | ...$E.\setminus.T$.that.are.exte |
| 0f00 | 72 6e 61 6c 6c 79 20 61 63 74 69 76 65 20 77 69 74 68 20 72 65 73 70 65 63 74 20 74 6f 20 60 54 | rnally.active.with.respect.to.`T |
| 0f20 | 60 20 61 6e 64 20 60 4c 60 2e 0a 20 20 20 20 54 68 65 6e 20 5b 34 5d 5f 20 5b 35 5d 5f 3a 0a 0a | `.and.`L`......Then.[4]_.[5]_:.. |
| 0f40 | 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 0a 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 5f 47 28 78 2c 20 79 29 | .......math::..........T_G(x,.y) |
| 0f60 | 20 3d 20 5c 73 75 6d 5f 7b 54 20 5c 74 65 78 74 7b 20 61 20 73 70 61 6e 6e 69 6e 67 20 74 72 65 | .=.\sum_{T.\text{.a.spanning.tre |
| 0f80 | 65 20 6f 66 20 7d 20 47 7d 20 78 5e 7b 69 28 54 29 7d 20 79 5e 7b 65 28 54 29 7d 0a 0a 20 20 20 | e.of.}.G}.x^{i(T)}.y^{e(T)}..... |
| 0fa0 | 20 44 65 66 20 33 20 28 64 65 6c 65 74 69 6f 6e 2d 63 6f 6e 74 72 61 63 74 69 6f 6e 20 72 65 63 | .Def.3.(deletion-contraction.rec |
| 0fc0 | 75 72 72 65 6e 63 65 29 3a 20 46 6f 72 20 60 47 60 20 61 6e 20 75 6e 64 69 72 65 63 74 65 64 20 | urrence):.For.`G`.an.undirected. |
| 0fe0 | 67 72 61 70 68 2c 20 60 47 2d 65 60 0a 20 20 20 20 74 68 65 20 67 72 61 70 68 20 6f 62 74 61 69 | graph,.`G-e`.....the.graph.obtai |
| 1000 | 6e 65 64 20 66 72 6f 6d 20 60 47 60 20 62 79 20 64 65 6c 65 74 69 6e 67 20 65 64 67 65 20 60 65 | ned.from.`G`.by.deleting.edge.`e |
| 1020 | 60 2c 20 60 47 2f 65 60 20 74 68 65 20 67 72 61 70 68 20 6f 62 74 61 69 6e 65 64 0a 20 20 20 20 | `,.`G/e`.the.graph.obtained..... |
| 1040 | 66 72 6f 6d 20 60 47 60 20 62 79 20 63 6f 6e 74 72 61 63 74 69 6e 67 20 65 64 67 65 20 60 65 60 | from.`G`.by.contracting.edge.`e` |
| 1060 | 2c 20 60 6b 28 47 29 60 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 63 75 74 2d 65 64 67 65 73 | ,.`k(G)`.the.number.of.cut-edges |
| 1080 | 20 6f 66 20 60 47 60 2c 0a 20 20 20 20 61 6e 64 20 60 6c 28 47 29 60 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 | .of.`G`,.....and.`l(G)`.the.numb |
| 10a0 | 65 72 20 6f 66 20 73 65 6c 66 2d 6c 6f 6f 70 73 20 6f 66 20 60 47 60 3a 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e | er.of.self-loops.of.`G`:........ |
| 10c0 | 20 6d 61 74 68 3a 3a 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 5f 47 28 78 2c 20 79 29 20 3d 20 5c 62 65 67 | .math::.........T_G(x,.y).=.\beg |
| 10e0 | 69 6e 7b 63 61 73 65 73 7d 0a 20 20 20 20 09 20 20 20 78 5e 7b 6b 28 47 29 7d 20 79 5e 7b 6c 28 | in{cases}.........x^{k(G)}.y^{l( |
| 1100 | 47 29 7d 2c 20 26 20 5c 74 65 78 74 7b 69 66 20 61 6c 6c 20 65 64 67 65 73 20 61 72 65 20 63 75 | G)},.&.\text{if.all.edges.are.cu |
| 1120 | 74 2d 65 64 67 65 73 20 6f 72 20 73 65 6c 66 2d 6c 6f 6f 70 73 7d 20 5c 5c 0a 20 20 20 20 20 20 | t-edges.or.self-loops}.\\....... |
| 1140 | 20 20 20 20 20 54 5f 7b 47 2d 65 7d 28 78 2c 20 79 29 20 2b 20 54 5f 7b 47 2f 65 7d 28 78 2c 20 | .....T_{G-e}(x,.y).+.T_{G/e}(x,. |
| 1160 | 79 29 2c 20 26 20 5c 74 65 78 74 7b 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 2c 20 66 6f 72 20 61 6e 20 61 72 | y),.&.\text{otherwise,.for.an.ar |
| 1180 | 62 69 74 72 61 72 79 20 65 64 67 65 20 24 65 24 20 6e 6f 74 20 61 20 63 75 74 2d 65 64 67 65 20 | bitrary.edge.$e$.not.a.cut-edge. |
| 11a0 | 6f 72 20 6c 6f 6f 70 7d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 5c 65 6e 64 7b 63 61 73 65 73 7d 0a 0a 20 20 | or.loop}.........\end{cases}.... |
| 11c0 | 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 | ..Parameters.....----------..... |
| 11e0 | 47 20 3a 20 4e 65 74 77 6f 72 6b 58 20 67 72 61 70 68 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a | G.:.NetworkX.graph......Returns. |
| 1200 | 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 69 6e 73 74 61 6e 63 65 20 6f 66 20 60 73 79 6d | ....-------.....instance.of.`sym |
| 1220 | 70 79 2e 63 6f 72 65 2e 61 64 64 2e 41 64 64 60 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 20 53 79 6d 70 79 | py.core.add.Add`.........A.Sympy |
| 1240 | 20 65 78 70 72 65 73 73 69 6f 6e 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 54 75 74 | .expression.representing.the.Tut |
| 1260 | 74 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 66 6f 72 20 60 47 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d | te.polynomial.for.`G`.......Exam |
| 1280 | 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 43 20 3d 20 6e 78 | ples.....--------.....>>>.C.=.nx |
| 12a0 | 2e 63 79 63 6c 65 5f 67 72 61 70 68 28 35 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 6e 78 2e 74 75 74 74 65 | .cycle_graph(5).....>>>.nx.tutte |
| 12c0 | 5f 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 28 43 29 0a 20 20 20 20 78 2a 2a 34 20 2b 20 78 2a 2a 33 20 2b | _polynomial(C).....x**4.+.x**3.+ |
| 12e0 | 20 78 2a 2a 32 20 2b 20 78 20 2b 20 79 0a 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 44 20 3d 20 6e 78 2e 64 69 | .x**2.+.x.+.y......>>>.D.=.nx.di |
| 1300 | 61 6d 6f 6e 64 5f 67 72 61 70 68 28 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 6e 78 2e 74 75 74 74 65 5f 70 | amond_graph().....>>>.nx.tutte_p |
| 1320 | 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 28 44 29 0a 20 20 20 20 78 2a 2a 33 20 2b 20 32 2a 78 2a 2a 32 20 2b | olynomial(D).....x**3.+.2*x**2.+ |
| 1340 | 20 32 2a 78 2a 79 20 2b 20 78 20 2b 20 79 2a 2a 32 20 2b 20 79 0a 0a 20 20 20 20 4e 6f 74 65 73 | .2*x*y.+.x.+.y**2.+.y......Notes |
| 1360 | 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 53 6f 6d 65 20 73 70 65 63 69 61 6c 69 7a 61 74 69 | .....-----.....Some.specializati |
| 1380 | 6f 6e 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 54 75 74 74 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 3a 0a 0a 20 20 | ons.of.the.Tutte.polynomial:.... |
| 13a0 | 20 20 2d 20 60 54 5f 47 28 31 2c 20 31 29 60 20 63 6f 75 6e 74 73 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 | ..-.`T_G(1,.1)`.counts.the.numbe |
| 13c0 | 72 20 6f 66 20 73 70 61 6e 6e 69 6e 67 20 74 72 65 65 73 20 6f 66 20 60 47 60 0a 20 20 20 20 2d | r.of.spanning.trees.of.`G`.....- |
| 13e0 | 20 60 54 5f 47 28 31 2c 20 32 29 60 20 63 6f 75 6e 74 73 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f | .`T_G(1,.2)`.counts.the.number.o |
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| 1420 | 66 20 60 47 60 0a 20 20 20 20 2d 20 60 54 5f 47 28 32 2c 20 31 29 60 20 63 6f 75 6e 74 73 20 74 | f.`G`.....-.`T_G(2,.1)`.counts.t |
| 1440 | 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 73 70 61 6e 6e 69 6e 67 20 66 6f 72 65 73 74 73 20 69 6e | he.number.of.spanning.forests.in |
| 1460 | 20 60 47 60 0a 20 20 20 20 2d 20 60 54 5f 47 28 30 2c 20 32 29 60 20 63 6f 75 6e 74 73 20 74 68 | .`G`.....-.`T_G(0,.2)`.counts.th |
| 1480 | 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 73 74 72 6f 6e 67 20 6f 72 69 65 6e 74 61 74 69 6f 6e 73 20 | e.number.of.strong.orientations. |
| 14a0 | 6f 66 20 60 47 60 0a 20 20 20 20 2d 20 60 54 5f 47 28 32 2c 20 30 29 60 20 63 6f 75 6e 74 73 20 | of.`G`.....-.`T_G(2,.0)`.counts. |
| 14c0 | 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 61 63 79 63 6c 69 63 20 6f 72 69 65 6e 74 61 74 69 6f | the.number.of.acyclic.orientatio |
| 14e0 | 6e 73 20 6f 66 20 60 47 60 0a 0a 20 20 20 20 45 64 67 65 20 63 6f 6e 74 72 61 63 74 69 6f 6e 20 | ns.of.`G`......Edge.contraction. |
| 1500 | 69 73 20 64 65 66 69 6e 65 64 20 61 6e 64 20 64 65 6c 65 74 69 6f 6e 2d 63 6f 6e 74 72 61 63 74 | is.defined.and.deletion-contract |
| 1520 | 69 6f 6e 20 69 73 20 69 6e 74 72 6f 64 75 63 65 64 20 69 6e 20 5b 36 5d 5f 2e 0a 20 20 20 20 43 | ion.is.introduced.in.[6]_......C |
| 1540 | 6f 6d 62 69 6e 61 74 6f 72 69 61 6c 20 6d 65 61 6e 69 6e 67 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 | ombinatorial.meaning.of.the.coef |
| 1560 | 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 69 73 20 69 6e 74 72 6f 64 75 63 65 64 20 69 6e 20 5b 37 5d 5f 2e 0a | ficients.is.introduced.in.[7]_.. |
| 1580 | 20 20 20 20 55 6e 69 76 65 72 73 61 6c 69 74 79 2c 20 70 72 6f 70 65 72 74 69 65 73 2c 20 61 6e | ....Universality,.properties,.an |
| 15a0 | 64 20 61 70 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 73 20 61 72 65 20 64 69 73 63 75 73 73 65 64 20 69 6e 20 | d.applications.are.discussed.in. |
| 15c0 | 5b 38 5d 5f 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 72 61 63 74 69 63 61 6c 6c 79 2c 20 75 70 2d 66 72 6f 6e 74 | [8]_.......Practically,.up-front |
| 15e0 | 20 63 6f 6d 70 75 74 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 54 75 74 74 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f | .computation.of.the.Tutte.polyno |
| 1600 | 6d 69 61 6c 20 6d 61 79 20 62 65 20 75 73 65 66 75 6c 20 77 68 65 6e 0a 20 20 20 20 75 73 65 72 | mial.may.be.useful.when.....user |
| 1620 | 73 20 77 69 73 68 20 74 6f 20 72 65 70 65 61 74 65 64 6c 79 20 63 61 6c 63 75 6c 61 74 65 20 65 | s.wish.to.repeatedly.calculate.e |
| 1640 | 64 67 65 2d 63 6f 6e 6e 65 63 74 69 76 69 74 79 2d 72 65 6c 61 74 65 64 20 69 6e 66 6f 72 6d 61 | dge-connectivity-related.informa |
| 1660 | 74 69 6f 6e 0a 20 20 20 20 61 62 6f 75 74 20 6f 6e 65 20 6f 72 20 6d 6f 72 65 20 67 72 61 70 68 | tion.....about.one.or.more.graph |
| 1680 | 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 66 65 72 65 6e 63 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | s.......References.....--------- |
| 16a0 | 2d 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 5b 31 5d 20 4d 2e 20 42 72 61 6e 64 74 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 22 | -........[1].M..Brandt,........" |
| 16c0 | 54 68 65 20 54 75 74 74 65 20 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 22 0a 20 20 20 20 20 20 20 54 61 | The.Tutte.Polynomial."........Ta |
| 16e0 | 6c 6b 69 6e 67 20 41 62 6f 75 74 20 43 6f 6d 62 69 6e 61 74 6f 72 69 61 6c 20 4f 62 6a 65 63 74 | lking.About.Combinatorial.Object |
| 1700 | 73 20 53 65 6d 69 6e 61 72 2c 20 32 30 31 35 0a 20 20 20 20 20 20 20 68 74 74 70 73 3a 2f 2f 6d | s.Seminar,.2015........https://m |
| 1720 | 61 74 68 2e 62 65 72 6b 65 6c 65 79 2e 65 64 75 2f 7e 62 72 61 6e 64 74 6d 2f 74 61 6c 6b 73 2f | ath.berkeley.edu/~brandtm/talks/ |
| 1740 | 74 75 74 74 65 2e 70 64 66 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 5b 32 5d 20 41 2e 20 42 6a c3 b6 72 6b 6c 75 | tutte.pdf........[2].A..Bj..rklu |
| 1760 | 6e 64 2c 20 54 2e 20 48 75 73 66 65 6c 64 74 2c 20 50 2e 20 4b 61 73 6b 69 2c 20 4d 2e 20 4b 6f | nd,.T..Husfeldt,.P..Kaski,.M..Ko |
| 1780 | 69 76 69 73 74 6f 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 22 43 6f 6d 70 75 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 54 75 | ivisto,........"Computing.the.Tu |
| 17a0 | 74 74 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6e 20 76 65 72 74 65 78 2d 65 78 70 6f 6e 65 6e | tte.polynomial.in.vertex-exponen |
| 17c0 | 74 69 61 6c 20 74 69 6d 65 22 0a 20 20 20 20 20 20 20 34 39 74 68 20 41 6e 6e 75 61 6c 20 49 45 | tial.time"........49th.Annual.IE |
| 17e0 | 45 45 20 53 79 6d 70 6f 73 69 75 6d 20 6f 6e 20 46 6f 75 6e 64 61 74 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 43 | EE.Symposium.on.Foundations.of.C |
| 1800 | 6f 6d 70 75 74 65 72 20 53 63 69 65 6e 63 65 2c 20 32 30 30 38 0a 20 20 20 20 20 20 20 68 74 74 | omputer.Science,.2008........htt |
| 1820 | 70 73 3a 2f 2f 69 65 65 65 78 70 6c 6f 72 65 2e 69 65 65 65 2e 6f 72 67 2f 61 62 73 74 72 61 63 | ps://ieeexplore.ieee.org/abstrac |
| 1840 | 74 2f 64 6f 63 75 6d 65 6e 74 2f 34 36 39 31 30 30 30 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 5b 33 5d 20 59 2e | t/document/4691000........[3].Y. |
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| 1880 | 6e 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 22 47 72 61 70 68 20 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 2c 22 20 70 | n,........"Graph.Polynomials,".p |
| 18a0 | 2e 20 31 34 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 5b 34 5d 20 59 2e 20 53 68 69 2c 20 4d 2e 20 44 65 68 6d 65 | ..14........[4].Y..Shi,.M..Dehme |
| 18c0 | 72 2c 20 58 2e 20 4c 69 2c 20 49 2e 20 47 75 74 6d 61 6e 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 22 47 72 61 | r,.X..Li,.I..Gutman,........"Gra |
| 18e0 | 70 68 20 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 2c 22 20 70 2e 20 34 36 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 5b 35 | ph.Polynomials,".p..46........[5 |
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| 2180 | 73 20 61 20 66 75 6e 64 61 6d 65 6e 74 61 6c 20 67 72 61 70 68 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c | s.a.fundamental.graph.polynomial |
| 21a0 | 0a 20 20 20 20 69 6e 76 61 72 69 61 6e 74 20 69 6e 20 6f 6e 65 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 2e 20 | .....invariant.in.one.variable.. |
| 21c0 | 45 76 61 6c 75 61 74 69 6e 67 20 60 58 5f 47 28 6b 29 60 20 66 6f 72 20 61 6e 20 6e 61 74 75 72 | Evaluating.`X_G(k)`.for.an.natur |
| 21e0 | 61 6c 20 6e 75 6d 62 65 72 20 60 6b 60 0a 20 20 20 20 65 6e 75 6d 65 72 61 74 65 73 20 74 68 65 | al.number.`k`.....enumerates.the |
| 2200 | 20 70 72 6f 70 65 72 20 6b 2d 63 6f 6c 6f 72 69 6e 67 73 20 6f 66 20 60 47 60 2e 0a 0a 20 20 20 | .proper.k-colorings.of.`G`...... |
| 2220 | 20 54 68 65 72 65 20 61 72 65 20 73 65 76 65 72 61 6c 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 20 64 65 | .There.are.several.equivalent.de |
| 2240 | 66 69 6e 69 74 69 6f 6e 73 3b 20 68 65 72 65 20 61 72 65 20 74 68 72 65 65 3a 0a 0a 20 20 20 20 | finitions;.here.are.three:...... |
| 2260 | 44 65 66 20 31 20 28 65 78 70 6c 69 63 69 74 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 29 3a 0a 20 20 20 20 46 6f | Def.1.(explicit.formula):.....Fo |
| 2280 | 72 20 60 47 60 20 61 6e 20 75 6e 64 69 72 65 63 74 65 64 20 67 72 61 70 68 2c 20 60 63 28 47 29 | r.`G`.an.undirected.graph,.`c(G) |
| 22a0 | 60 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 63 6f 6e 6e 65 63 74 65 64 20 63 6f 6d 70 6f 6e | `.the.number.of.connected.compon |
| 22c0 | 65 6e 74 73 20 6f 66 0a 20 20 20 20 60 47 60 2c 20 60 45 60 20 74 68 65 20 65 64 67 65 20 73 65 | ents.of.....`G`,.`E`.the.edge.se |
| 22e0 | 74 20 6f 66 20 60 47 60 2c 20 61 6e 64 20 60 47 28 53 29 60 20 74 68 65 20 73 70 61 6e 6e 69 6e | t.of.`G`,.and.`G(S)`.the.spannin |
| 2300 | 67 20 73 75 62 67 72 61 70 68 20 6f 66 20 60 47 60 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 65 64 67 65 20 | g.subgraph.of.`G`.with.....edge. |
| 2320 | 73 65 74 20 60 53 60 20 5b 31 5d 5f 3a 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 0a 0a 20 20 | set.`S`.[1]_:.........math::.... |
| 2340 | 20 20 20 20 20 20 58 5f 47 28 78 29 20 3d 20 5c 73 75 6d 5f 7b 53 20 5c 73 75 62 73 65 74 65 71 | ......X_G(x).=.\sum_{S.\subseteq |
| 2360 | 20 45 7d 20 28 2d 31 29 5e 7b 7c 53 7c 7d 20 78 5e 7b 63 28 47 28 53 29 29 7d 0a 0a 0a 20 20 20 | .E}.(-1)^{|S|}.x^{c(G(S))}...... |
| 2380 | 20 44 65 66 20 32 20 28 69 6e 74 65 72 70 6f 6c 61 74 69 6e 67 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c | .Def.2.(interpolating.polynomial |
| 23a0 | 29 3a 0a 20 20 20 20 46 6f 72 20 60 47 60 20 61 6e 20 75 6e 64 69 72 65 63 74 65 64 20 67 72 61 | ):.....For.`G`.an.undirected.gra |
| 23c0 | 70 68 2c 20 60 6e 28 47 29 60 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 76 65 72 74 69 63 65 | ph,.`n(G)`.the.number.of.vertice |
| 23e0 | 73 20 6f 66 20 60 47 60 2c 20 60 6b 5f 30 20 3d 20 30 60 2c 0a 20 20 20 20 61 6e 64 20 60 6b 5f | s.of.`G`,.`k_0.=.0`,.....and.`k_ |
| 2400 | 69 60 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 64 69 73 74 69 6e 63 74 20 77 61 79 73 20 74 | i`.the.number.of.distinct.ways.t |
| 2420 | 6f 20 63 6f 6c 6f 72 20 74 68 65 20 76 65 72 74 69 63 65 73 20 6f 66 20 60 47 60 20 77 69 74 68 | o.color.the.vertices.of.`G`.with |
| 2440 | 20 60 69 60 0a 20 20 20 20 75 6e 69 71 75 65 20 63 6f 6c 6f 72 73 20 28 66 6f 72 20 60 69 60 20 | .`i`.....unique.colors.(for.`i`. |
| 2460 | 61 20 6e 61 74 75 72 61 6c 20 6e 75 6d 62 65 72 20 61 74 20 6d 6f 73 74 20 60 6e 28 47 29 60 29 | a.natural.number.at.most.`n(G)`) |
| 2480 | 2c 20 60 58 5f 47 28 78 29 60 20 69 73 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 75 6e 69 71 75 65 20 4c 61 67 | ,.`X_G(x)`.is.the.....unique.Lag |
| 24a0 | 72 61 6e 67 65 20 69 6e 74 65 72 70 6f 6c 61 74 69 6e 67 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 6f | range.interpolating.polynomial.o |
| 24c0 | 66 20 64 65 67 72 65 65 20 60 6e 28 47 29 60 20 74 68 72 6f 75 67 68 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e | f.degree.`n(G)`.through.the.poin |
| 24e0 | 74 73 0a 20 20 20 20 60 28 30 2c 20 6b 5f 30 29 2c 20 28 31 2c 20 6b 5f 31 29 2c 20 5c 64 6f 74 | ts.....`(0,.k_0),.(1,.k_1),.\dot |
| 2500 | 73 2c 20 28 6e 28 47 29 2c 20 6b 5f 7b 6e 28 47 29 7d 29 60 20 5b 32 5d 5f 2e 0a 0a 0a 20 20 20 | s,.(n(G),.k_{n(G)})`.[2]_....... |
| 2520 | 20 44 65 66 20 33 20 28 63 68 72 6f 6d 61 74 69 63 20 72 65 63 75 72 72 65 6e 63 65 29 3a 0a 20 | .Def.3.(chromatic.recurrence):.. |
| 2540 | 20 20 20 46 6f 72 20 60 47 60 20 61 6e 20 75 6e 64 69 72 65 63 74 65 64 20 67 72 61 70 68 2c 20 | ...For.`G`.an.undirected.graph,. |
| 2560 | 60 47 2d 65 60 20 74 68 65 20 67 72 61 70 68 20 6f 62 74 61 69 6e 65 64 20 66 72 6f 6d 20 60 47 | `G-e`.the.graph.obtained.from.`G |
| 2580 | 60 20 62 79 20 64 65 6c 65 74 69 6e 67 0a 20 20 20 20 65 64 67 65 20 60 65 60 2c 20 60 47 2f 65 | `.by.deleting.....edge.`e`,.`G/e |
| 25a0 | 60 20 74 68 65 20 67 72 61 70 68 20 6f 62 74 61 69 6e 65 64 20 66 72 6f 6d 20 60 47 60 20 62 79 | `.the.graph.obtained.from.`G`.by |
| 25c0 | 20 63 6f 6e 74 72 61 63 74 69 6e 67 20 65 64 67 65 20 60 65 60 2c 20 60 6e 28 47 29 60 0a 20 20 | .contracting.edge.`e`,.`n(G)`... |
| 25e0 | 20 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 76 65 72 74 69 63 65 73 20 6f 66 20 60 47 60 2c | ..the.number.of.vertices.of.`G`, |
| 2600 | 20 61 6e 64 20 60 65 28 47 29 60 20 74 68 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 65 64 67 65 73 20 | .and.`e(G)`.the.number.of.edges. |
| 2620 | 6f 66 20 60 47 60 20 5b 33 5d 5f 3a 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 0a 20 20 20 20 | of.`G`.[3]_:.........math::..... |
| 2640 | 20 20 20 20 58 5f 47 28 78 29 20 3d 20 5c 62 65 67 69 6e 7b 63 61 73 65 73 7d 0a 20 20 20 20 09 | ....X_G(x).=.\begin{cases}...... |
| 2660 | 20 20 20 78 5e 7b 6e 28 47 29 7d 2c 20 26 20 5c 74 65 78 74 7b 69 66 20 24 65 28 47 29 3d 30 24 | ...x^{n(G)},.&.\text{if.$e(G)=0$ |
| 2680 | 7d 20 5c 5c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 58 5f 7b 47 2d 65 7d 28 78 29 20 2d 20 58 5f 7b | }.\\............X_{G-e}(x).-.X_{ |
| 26a0 | 47 2f 65 7d 28 78 29 2c 20 26 20 5c 74 65 78 74 7b 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 2c 20 66 6f 72 20 | G/e}(x),.&.\text{otherwise,.for. |
| 26c0 | 61 6e 20 61 72 62 69 74 72 61 72 79 20 65 64 67 65 20 24 65 24 7d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 5c | an.arbitrary.edge.$e$}.........\ |
| 26e0 | 65 6e 64 7b 63 61 73 65 73 7d 0a 0a 20 20 20 20 54 68 69 73 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 74 69 6f 6e | end{cases}......This.formulation |
| 2700 | 20 69 73 20 61 6c 73 6f 20 6b 6e 6f 77 6e 20 61 73 20 74 68 65 20 46 75 6e 64 61 6d 65 6e 74 61 | .is.also.known.as.the.Fundamenta |
| 2720 | 6c 20 52 65 64 75 63 74 69 6f 6e 20 54 68 65 6f 72 65 6d 20 5b 34 5d 5f 2e 0a 0a 0a 20 20 20 20 | l.Reduction.Theorem.[4]_........ |
| 2740 | 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 47 20 | Parameters.....----------.....G. |
| 2760 | 3a 20 4e 65 74 77 6f 72 6b 58 20 67 72 61 70 68 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 | :.NetworkX.graph......Returns... |
| 2780 | 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 69 6e 73 74 61 6e 63 65 20 6f 66 20 60 73 79 6d 70 79 | ..-------.....instance.of.`sympy |
| 27a0 | 2e 63 6f 72 65 2e 61 64 64 2e 41 64 64 60 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 20 53 79 6d 70 79 20 65 | .core.add.Add`.........A.Sympy.e |
| 27c0 | 78 70 72 65 73 73 69 6f 6e 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 63 68 72 6f 6d | xpression.representing.the.chrom |
| 27e0 | 61 74 69 63 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 66 6f 72 20 60 47 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 45 78 | atic.polynomial.for.`G`.......Ex |
| 2800 | 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 43 20 3d 20 | amples.....--------.....>>>.C.=. |
| 2820 | 6e 78 2e 63 79 63 6c 65 5f 67 72 61 70 68 28 35 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 6e 78 2e 63 68 72 | nx.cycle_graph(5).....>>>.nx.chr |
| 2840 | 6f 6d 61 74 69 63 5f 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 28 43 29 0a 20 20 20 20 78 2a 2a 35 20 2d 20 | omatic_polynomial(C).....x**5.-. |
| 2860 | 35 2a 78 2a 2a 34 20 2b 20 31 30 2a 78 2a 2a 33 20 2d 20 31 30 2a 78 2a 2a 32 20 2b 20 34 2a 78 | 5*x**4.+.10*x**3.-.10*x**2.+.4*x |
| 2880 | 0a 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 47 20 3d 20 6e 78 2e 63 6f 6d 70 6c 65 74 65 5f 67 72 61 70 68 28 | ......>>>.G.=.nx.complete_graph( |
| 28a0 | 34 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 6e 78 2e 63 68 72 6f 6d 61 74 69 63 5f 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 | 4).....>>>.nx.chromatic_polynomi |
| 28c0 | 61 6c 28 47 29 0a 20 20 20 20 78 2a 2a 34 20 2d 20 36 2a 78 2a 2a 33 20 2b 20 31 31 2a 78 2a 2a | al(G).....x**4.-.6*x**3.+.11*x** |
| 28e0 | 32 20 2d 20 36 2a 78 0a 0a 20 20 20 20 4e 6f 74 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 | 2.-.6*x......Notes.....-----.... |
| 2900 | 20 49 6e 74 65 72 70 72 65 74 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 | .Interpretation.of.the.coefficie |
| 2920 | 6e 74 73 20 69 73 20 64 69 73 63 75 73 73 65 64 20 69 6e 20 5b 35 5d 5f 2e 20 53 65 76 65 72 61 | nts.is.discussed.in.[5]_..Severa |
| 2940 | 6c 20 73 70 65 63 69 61 6c 0a 20 20 20 20 63 61 73 65 73 20 61 72 65 20 6c 69 73 74 65 64 20 69 | l.special.....cases.are.listed.i |
| 2960 | 6e 20 5b 32 5d 5f 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 63 68 72 6f 6d 61 74 69 63 20 70 6f 6c 79 6e | n.[2]_.......The.chromatic.polyn |
| 2980 | 6f 6d 69 61 6c 20 69 73 20 61 20 73 70 65 63 69 61 6c 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 | omial.is.a.specialization.of.the |
| 29a0 | 20 54 75 74 74 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 3b 20 69 6e 0a 20 20 20 20 70 61 72 74 69 63 | .Tutte.polynomial;.in.....partic |
| 29c0 | 75 6c 61 72 2c 20 60 60 58 5f 47 28 78 29 20 3d 20 54 5f 47 28 78 2c 20 30 29 60 60 20 5b 36 5d | ular,.``X_G(x).=.T_G(x,.0)``.[6] |
| 29e0 | 5f 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 63 68 72 6f 6d 61 74 69 63 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c | _.......The.chromatic.polynomial |
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