summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/.venv/lib/python3.12/site-packages/numpy/polynomial/__pycache__/polynomial.cpython-312.pyc
blob: e359c4c4e996d5d7fd3ee874af8b5322a23c02fb (plain)
ofshex dumpascii
0000 cb 0d 0d 0a 00 00 00 00 0d fd a7 68 e4 cb 00 00 e3 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 05 00 00 ...........h....................
0020 00 00 00 00 00 f3 ac 01 00 00 97 00 64 00 5a 00 67 00 64 01 a2 01 5a 01 64 02 64 03 6c 02 5a 03 ............d.Z.g.d...Z.d.d.l.Z.
0040 64 02 64 03 6c 04 6d 05 5a 06 01 00 64 02 64 04 6c 07 6d 08 5a 08 01 00 64 05 64 06 6c 09 6d 0a d.d.l.m.Z...d.d.l.m.Z...d.d.l.m.
0060 5a 0b 01 00 64 05 64 07 6c 0c 6d 0d 5a 0d 01 00 65 0b 6a 1c 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 Z...d.d.l.m.Z...e.j.............
0080 00 00 00 00 00 00 5a 0f 02 00 65 03 6a 20 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ......Z...e.j...................
00a0 64 08 64 09 67 02 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 11 02 00 65 03 6a 20 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 d.d.g.........Z...e.j...........
00c0 00 00 00 00 00 00 00 00 64 02 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 12 02 00 65 03 6a 20 00 00 00 00 ........d.g.........Z...e.j.....
00e0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 05 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 13 02 00 65 03 ..............d.g.........Z...e.
0100 6a 20 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 02 64 05 67 02 ab 01 00 00 00 00 j...................d.d.g.......
0120 00 00 5a 14 64 0a 84 00 5a 15 64 0b 84 00 5a 16 64 0c 84 00 5a 17 64 0d 84 00 5a 18 64 0e 84 00 ..Z.d...Z.d...Z.d...Z.d...Z.d...
0140 5a 19 64 0f 84 00 5a 1a 64 10 84 00 5a 1b 64 22 64 11 84 01 5a 1c 64 23 64 12 84 01 5a 1d 64 05 Z.d...Z.d...Z.d"d...Z.d#d...Z.d.
0160 67 00 64 02 64 05 64 02 66 05 64 13 84 01 5a 1e 64 24 64 14 84 01 5a 1f 64 24 64 15 84 01 5a 20 g.d.d.d.f.d...Z.d$d...Z.d$d...Z.
0180 64 16 84 00 5a 21 64 17 84 00 5a 22 64 18 84 00 5a 23 64 19 84 00 5a 24 64 1a 84 00 5a 25 64 1b d...Z!d...Z"d...Z#d...Z$d...Z%d.
01a0 84 00 5a 26 64 1c 84 00 5a 27 64 25 64 1d 84 01 5a 28 64 1e 84 00 5a 29 64 1f 84 00 5a 2a 02 00 ..Z&d...Z'd%d...Z(d...Z)d...Z*..
01c0 47 00 64 20 84 00 64 21 65 0d ab 03 00 00 00 00 00 00 5a 2b 79 03 29 26 61 ba 04 00 00 0a 3d 3d G.d...d!e.........Z+y.)&a.....==
01e0 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d ================================
0200 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 0a 50 6f 77 65 72 20 53 65 72 69 65 73 20 28 3a 6d ===============.Power.Series.(:m
0220 6f 64 3a 60 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 60 od:`numpy.polynomial.polynomial`
0240 29 0a 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d ).==============================
0260 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 3d 0a 0a 54 68 69 73 20 6d 6f 64 75 6c 65 ===================..This.module
0280 20 70 72 6f 76 69 64 65 73 20 61 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 6f 62 6a 65 63 74 73 20 28 6d .provides.a.number.of.objects.(m
02a0 6f 73 74 6c 79 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 29 20 75 73 65 66 75 6c 20 66 6f 72 0a 64 65 61 6c ostly.functions).useful.for.deal
02c0 69 6e 67 20 77 69 74 68 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 2c 20 69 6e 63 6c 75 64 69 6e 67 20 ing.with.polynomials,.including.
02e0 61 20 60 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 60 20 63 6c 61 73 73 20 74 68 61 74 0a 65 6e 63 61 70 73 a.`Polynomial`.class.that.encaps
0300 75 6c 61 74 65 73 20 74 68 65 20 75 73 75 61 6c 20 61 72 69 74 68 6d 65 74 69 63 20 6f 70 65 72 ulates.the.usual.arithmetic.oper
0320 61 74 69 6f 6e 73 2e 20 20 28 47 65 6e 65 72 61 6c 20 69 6e 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 0a 6f 6e ations...(General.information.on
0340 20 68 6f 77 20 74 68 69 73 20 6d 6f 64 75 6c 65 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 73 20 61 6e 64 20 .how.this.module.represents.and.
0360 77 6f 72 6b 73 20 77 69 74 68 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 6f 62 6a 65 63 74 73 20 69 73 works.with.polynomial.objects.is
0380 20 69 6e 0a 74 68 65 20 64 6f 63 73 74 72 69 6e 67 20 66 6f 72 20 69 74 73 20 22 70 61 72 65 6e .in.the.docstring.for.its."paren
03a0 74 22 20 73 75 62 2d 70 61 63 6b 61 67 65 2c 20 60 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 t".sub-package,.`numpy.polynomia
03c0 6c 60 29 2e 0a 0a 43 6c 61 73 73 65 73 0a 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 2e 2e 20 61 75 74 6f 73 75 6d l`)...Classes.-------....autosum
03e0 6d 61 72 79 3a 3a 0a 20 20 20 3a 74 6f 63 74 72 65 65 3a 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 2f 0a 0a mary::....:toctree:.generated/..
0400 20 20 20 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 0a 0a 43 6f 6e 73 74 61 6e 74 73 0a 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d ...Polynomial..Constants.-------
0420 2d 2d 0a 2e 2e 20 61 75 74 6f 73 75 6d 6d 61 72 79 3a 3a 0a 20 20 20 3a 74 6f 63 74 72 65 65 3a --....autosummary::....:toctree:
0440 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 2f 0a 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 64 6f 6d 61 69 6e 0a 20 20 20 70 6f .generated/.....polydomain....po
0460 6c 79 7a 65 72 6f 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 6f 6e 65 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 78 0a 0a 41 72 69 74 lyzero....polyone....polyx..Arit
0480 68 6d 65 74 69 63 0a 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 2e 2e 20 61 75 74 6f 73 75 6d 6d 61 72 79 hmetic.----------....autosummary
04a0 3a 3a 0a 20 20 20 3a 74 6f 63 74 72 65 65 3a 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 2f 0a 0a 20 20 20 70 ::....:toctree:.generated/.....p
04c0 6f 6c 79 61 64 64 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 73 75 62 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 78 0a 20 20 olyadd....polysub....polymulx...
04e0 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 64 69 76 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 70 6f 77 0a 20 .polymul....polydiv....polypow..
0500 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 ..polyval....polyval2d....polyva
0520 6c 33 64 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 67 72 69 64 32 64 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 67 72 69 64 33 64 0a l3d....polygrid2d....polygrid3d.
0540 0a 43 61 6c 63 75 6c 75 73 0a 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 2e 2e 20 61 75 74 6f 73 75 6d 6d 61 72 .Calculus.--------....autosummar
0560 79 3a 3a 0a 20 20 20 3a 74 6f 63 74 72 65 65 3a 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 2f 0a 0a 20 20 20 y::....:toctree:.generated/.....
0580 70 6f 6c 79 64 65 72 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 69 6e 74 0a 0a 4d 69 73 63 20 46 75 6e 63 74 69 6f polyder....polyint..Misc.Functio
05a0 6e 73 0a 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 2e 2e 20 61 75 74 6f 73 75 6d 6d 61 72 79 ns.--------------....autosummary
05c0 3a 3a 0a 20 20 20 3a 74 6f 63 74 72 65 65 3a 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 2f 0a 0a 20 20 20 70 ::....:toctree:.generated/.....p
05e0 6f 6c 79 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 70 6f 6c olyfromroots....polyroots....pol
0600 79 76 61 6c 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 0a 20 20 20 70 yvalfromroots....polyvander....p
0620 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 32 64 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 33 64 0a 20 20 20 70 olyvander2d....polyvander3d....p
0640 6f 6c 79 63 6f 6d 70 61 6e 69 6f 6e 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 66 69 74 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 74 olycompanion....polyfit....polyt
0660 72 69 6d 0a 20 20 20 70 6f 6c 79 6c 69 6e 65 0a 0a 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 2d 2d 2d 2d 2d 2d rim....polyline..See.Also.------
0680 2d 2d 0a 60 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 60 0a 0a 29 1c da 08 70 6f 6c 79 7a --.`numpy.polynomial`..)...polyz
06a0 65 72 6f da 07 70 6f 6c 79 6f 6e 65 da 05 70 6f 6c 79 78 da 0a 70 6f 6c 79 64 6f 6d 61 69 6e da ero..polyone..polyx..polydomain.
06c0 08 70 6f 6c 79 6c 69 6e 65 da 07 70 6f 6c 79 61 64 64 da 07 70 6f 6c 79 73 75 62 da 08 70 6f 6c .polyline..polyadd..polysub..pol
06e0 79 6d 75 6c 78 da 07 70 6f 6c 79 6d 75 6c da 07 70 6f 6c 79 64 69 76 da 07 70 6f 6c 79 70 6f 77 ymulx..polymul..polydiv..polypow
0700 da 07 70 6f 6c 79 76 61 6c da 10 70 6f 6c 79 76 61 6c 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 da 07 70 6f 6c ..polyval..polyvalfromroots..pol
0720 79 64 65 72 da 07 70 6f 6c 79 69 6e 74 da 0d 70 6f 6c 79 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 da 0a 70 6f yder..polyint..polyfromroots..po
0740 6c 79 76 61 6e 64 65 72 da 07 70 6f 6c 79 66 69 74 da 08 70 6f 6c 79 74 72 69 6d da 09 70 6f 6c lyvander..polyfit..polytrim..pol
0760 79 72 6f 6f 74 73 da 0a 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c da 09 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 da 09 70 yroots..Polynomial..polyval2d..p
0780 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 da 0a 70 6f 6c 79 67 72 69 64 32 64 da 0a 70 6f 6c 79 67 72 69 64 33 64 olyval3d..polygrid2d..polygrid3d
07a0 da 0c 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 32 64 da 0c 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 33 64 da 0d 70 6f ..polyvander2d..polyvander3d..po
07c0 6c 79 63 6f 6d 70 61 6e 69 6f 6e e9 00 00 00 00 4e 29 01 da 14 6e 6f 72 6d 61 6c 69 7a 65 5f 61 lycompanion.....N)...normalize_a
07e0 78 69 73 5f 69 6e 64 65 78 e9 01 00 00 00 29 01 da 09 70 6f 6c 79 75 74 69 6c 73 29 01 da 0b 41 xis_index.....)...polyutils)...A
0800 42 43 50 6f 6c 79 42 61 73 65 67 00 00 00 00 00 00 f0 bf 67 00 00 00 00 00 00 f0 3f 63 02 00 00 BCPolyBaseg........g.......?c...
0820 00 00 00 00 00 00 00 00 00 04 00 00 00 03 00 00 00 f3 66 00 00 00 97 00 7c 01 64 01 6b 37 00 00 ..................f.....|.d.k7..
0840 72 17 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 r.t.........j...................
0860 7c 00 7c 01 67 02 ab 01 00 00 00 00 00 00 53 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 |.|.g.........S.t.........j.....
0880 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 53 00 29 02 61 cf ..............|.g.........S.).a.
08a0 02 00 00 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 20 61 6e 20 61 72 72 61 79 20 72 65 70 72 65 73 65 ........Returns.an.array.represe
08c0 6e 74 69 6e 67 20 61 20 6c 69 6e 65 61 72 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 0a 0a 20 20 20 20 nting.a.linear.polynomial.......
08e0 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6f 66 Parameters.....----------.....of
0900 66 2c 20 73 63 6c 20 3a 20 73 63 61 6c 61 72 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 22 79 2d f,.scl.:.scalars.........The."y-
0920 69 6e 74 65 72 63 65 70 74 22 20 61 6e 64 20 22 73 6c 6f 70 65 22 20 6f 66 20 74 68 65 20 6c 69 intercept".and."slope".of.the.li
0940 6e 65 2c 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 ne,.respectively.......Returns..
0960 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 79 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 ...-------.....y.:.ndarray......
0980 20 20 20 54 68 69 73 20 6d 6f 64 75 6c 65 27 73 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 61 74 69 6f 6e 20 ...This.module's.representation.
09a0 6f 66 20 74 68 65 20 6c 69 6e 65 61 72 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 60 60 6f 66 66 20 2b of.the.linear.polynomial.``off.+
09c0 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 73 63 6c 2a 78 60 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a .........scl*x``.......See.Also.
09e0 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 ....--------.....numpy.polynomia
0a00 6c 2e 63 68 65 62 79 73 68 65 76 2e 63 68 65 62 6c 69 6e 65 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 l.chebyshev.chebline.....numpy.p
0a20 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 6c 65 67 65 6e 64 72 65 2e 6c 65 67 6c 69 6e 65 0a 20 20 20 20 6e olynomial.legendre.legline.....n
0a40 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 6c 61 67 75 65 72 72 65 2e 6c 61 67 6c 69 6e 65 umpy.polynomial.laguerre.lagline
0a60 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d 69 74 65 2e 68 65 .....numpy.polynomial.hermite.he
0a80 72 6d 6c 69 6e 65 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d rmline.....numpy.polynomial.herm
0aa0 69 74 65 5f 65 2e 68 65 72 6d 65 6c 69 6e 65 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 ite_e.hermeline......Examples...
0ac0 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f ..--------.....>>>.from.numpy.po
0ae0 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a lynomial.import.polynomial.as.P.
0b00 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 6c 69 6e 65 28 31 2c 20 2d 31 29 0a 20 20 20 20 61 72 ....>>>.P.polyline(1,.-1).....ar
0b20 72 61 79 28 5b 20 31 2c 20 2d 31 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 76 61 6c 28 ray([.1,.-1]).....>>>.P.polyval(
0b40 31 2c 20 50 2e 70 6f 6c 79 6c 69 6e 65 28 31 2c 20 2d 31 29 29 20 20 23 20 73 68 6f 75 6c 64 20 1,.P.polyline(1,.-1))..#.should.
0b60 62 65 20 30 0a 20 20 20 20 30 2e 30 0a 0a 20 20 20 20 72 1e 00 00 00 29 02 da 02 6e 70 da 05 61 be.0.....0.0......r....)...np..a
0b80 72 72 61 79 29 02 da 03 6f 66 66 da 03 73 63 6c 73 02 00 00 00 20 20 fa 62 2f 68 6f 6d 65 2f 62 rray)...off..scls.......b/home/b
0ba0 6c 61 63 6b 68 61 6f 2f 75 69 75 63 2d 63 6f 75 72 73 65 2d 67 72 61 70 68 2f 2e 76 65 6e 76 2f lackhao/uiuc-course-graph/.venv/
0bc0 6c 69 62 2f 70 79 74 68 6f 6e 33 2e 31 32 2f 73 69 74 65 2d 70 61 63 6b 61 67 65 73 2f 6e 75 6d lib/python3.12/site-packages/num
0be0 70 79 2f 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2f 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 70 79 72 06 00 00 00 py/polynomial/polynomial.pyr....
0c00 72 06 00 00 00 72 00 00 00 73 2f 00 00 00 80 00 f0 40 01 00 08 0b 88 61 82 78 dc 0f 11 8f 78 89 r....r...s/......@.....a.x....x.
0c20 78 98 13 98 63 98 0a d3 0f 23 d0 08 23 e4 0f 11 8f 78 89 78 98 13 98 05 8b 7f d0 08 1e f3 00 00 x...c....#..#....x.x............
0c40 00 00 63 01 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 05 00 00 00 03 00 00 00 f3 40 00 00 00 97 00 74 01 ..c.....................@.....t.
0c60 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 74 04 00 00 ........j...................t...
0c80 00 00 00 00 00 00 74 06 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 03 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 61 26 ......t.........|.........S.).a&
0ca0 07 00 00 0a 20 20 20 20 47 65 6e 65 72 61 74 65 20 61 20 6d 6f 6e 69 63 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d ........Generate.a.monic.polynom
0cc0 69 61 6c 20 77 69 74 68 20 67 69 76 65 6e 20 72 6f 6f 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 ial.with.given.roots.......Retur
0ce0 6e 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f n.the.coefficients.of.the.polyno
0d00 6d 69 61 6c 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 78 29 20 3d 20 28 78 20 2d 20 mial.........math::.p(x).=.(x.-.
0d20 72 5f 30 29 20 2a 20 28 78 20 2d 20 72 5f 31 29 20 2a 20 2e 2e 2e 20 2a 20 28 78 20 2d 20 72 5f r_0).*.(x.-.r_1).*.....*.(x.-.r_
0d40 6e 29 2c 0a 0a 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 74 68 65 20 3a 6d 61 74 68 3a 60 72 5f 6e 60 20 61 n),......where.the.:math:`r_n`.a
0d60 72 65 20 74 68 65 20 72 6f 6f 74 73 20 73 70 65 63 69 66 69 65 64 20 69 6e 20 60 72 6f 6f 74 73 re.the.roots.specified.in.`roots
0d80 60 2e 20 20 49 66 20 61 20 7a 65 72 6f 20 68 61 73 0a 20 20 20 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 69 `...If.a.zero.has.....multiplici
0da0 74 79 20 6e 2c 20 74 68 65 6e 20 69 74 20 6d 75 73 74 20 61 70 70 65 61 72 20 69 6e 20 60 72 6f ty.n,.then.it.must.appear.in.`ro
0dc0 6f 74 73 60 20 6e 20 74 69 6d 65 73 2e 20 46 6f 72 20 69 6e 73 74 61 6e 63 65 2c 0a 20 20 20 20 ots`.n.times..For.instance,.....
0de0 69 66 20 32 20 69 73 20 61 20 72 6f 6f 74 20 6f 66 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 69 74 79 20 74 if.2.is.a.root.of.multiplicity.t
0e00 68 72 65 65 20 61 6e 64 20 33 20 69 73 20 61 20 72 6f 6f 74 20 6f 66 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 hree.and.3.is.a.root.of.multipli
0e20 63 69 74 79 20 32 2c 0a 20 20 20 20 74 68 65 6e 20 60 72 6f 6f 74 73 60 20 6c 6f 6f 6b 73 20 73 city.2,.....then.`roots`.looks.s
0e40 6f 6d 65 74 68 69 6e 67 20 6c 69 6b 65 20 5b 32 2c 20 32 2c 20 32 2c 20 33 2c 20 33 5d 2e 20 54 omething.like.[2,.2,.2,.3,.3]..T
0e60 68 65 20 72 6f 6f 74 73 20 63 61 6e 20 61 70 70 65 61 72 0a 20 20 20 20 69 6e 20 61 6e 79 20 6f he.roots.can.appear.....in.any.o
0e80 72 64 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 63 6f 65 66 66 rder.......If.the.returned.coeff
0ea0 69 63 69 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 60 63 60 2c 20 74 68 65 6e 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 icients.are.`c`,.then.........ma
0ec0 74 68 3a 3a 20 70 28 78 29 20 3d 20 63 5f 30 20 2b 20 63 5f 31 20 2a 20 78 20 2b 20 2e 2e 2e 20 th::.p(x).=.c_0.+.c_1.*.x.+.....
0ee0 2b 20 20 78 5e 6e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 6f 66 20 74 +..x^n......The.coefficient.of.t
0f00 68 65 20 6c 61 73 74 20 74 65 72 6d 20 69 73 20 31 20 66 6f 72 20 6d 6f 6e 69 63 20 70 6f 6c 79 he.last.term.is.1.for.monic.poly
0f20 6e 6f 6d 69 61 6c 73 20 69 6e 20 74 68 69 73 0a 20 20 20 20 66 6f 72 6d 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 nomials.in.this.....form.......P
0f40 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 72 6f 6f arameters.....----------.....roo
0f60 74 73 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 53 65 71 75 65 6e 63 65 ts.:.array_like.........Sequence
0f80 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 69 6e 67 20 74 68 65 20 72 6f 6f 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 .containing.the.roots.......Retu
0fa0 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6f 75 74 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 rns.....-------.....out.:.ndarra
0fc0 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e y.........1-D.array.of.the.polyn
0fe0 6f 6d 69 61 6c 27 73 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 49 66 20 61 6c 6c 20 74 68 65 20 omial's.coefficients.If.all.the.
1000 72 6f 6f 74 73 20 61 72 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 72 65 61 6c 2c 20 74 68 65 6e 20 60 6f 75 roots.are.........real,.then.`ou
1020 74 60 20 69 73 20 61 6c 73 6f 20 72 65 61 6c 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 t`.is.also.real,.otherwise.it.is
1040 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 2e 20 20 28 73 65 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 .complex...(see.........Examples
1060 20 62 65 6c 6f 77 29 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d .below).......See.Also.....-----
1080 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 63 68 65 62 79 73 68 ---.....numpy.polynomial.chebysh
10a0 65 76 2e 63 68 65 62 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e ev.chebfromroots.....numpy.polyn
10c0 6f 6d 69 61 6c 2e 6c 65 67 65 6e 64 72 65 2e 6c 65 67 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 omial.legendre.legfromroots.....
10e0 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 6c 61 67 75 65 72 72 65 2e 6c 61 67 66 72 6f numpy.polynomial.laguerre.lagfro
1100 6d 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d mroots.....numpy.polynomial.herm
1120 69 74 65 2e 68 65 72 6d 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 ite.hermfromroots.....numpy.poly
1140 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d 69 74 65 5f 65 2e 68 65 72 6d 65 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 0a nomial.hermite_e.hermefromroots.
1160 0a 20 20 20 20 4e 6f 74 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 63 6f 65 .....Notes.....-----.....The.coe
1180 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 64 65 74 65 72 6d 69 6e 65 64 20 62 79 20 6d 75 6c 74 fficients.are.determined.by.mult
11a0 69 70 6c 79 69 6e 67 20 74 6f 67 65 74 68 65 72 20 6c 69 6e 65 61 72 20 66 61 63 74 6f 72 73 0a iplying.together.linear.factors.
11c0 20 20 20 20 6f 66 20 74 68 65 20 66 6f 72 6d 20 60 60 28 78 20 2d 20 72 5f 69 29 60 60 2c 20 69 ....of.the.form.``(x.-.r_i)``,.i
11e0 2e 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 78 29 20 3d 20 28 78 20 2d 20 72 .e..........math::.p(x).=.(x.-.r
1200 5f 30 29 20 28 78 20 2d 20 72 5f 31 29 20 2e 2e 2e 20 28 78 20 2d 20 72 5f 6e 29 0a 0a 20 20 20 _0).(x.-.r_1).....(x.-.r_n).....
1220 20 77 68 65 72 65 20 60 60 6e 20 3d 3d 20 6c 65 6e 28 72 6f 6f 74 73 29 20 2d 20 31 60 60 3b 20 .where.``n.==.len(roots).-.1``;.
1240 6e 6f 74 65 20 74 68 61 74 20 74 68 69 73 20 69 6d 70 6c 69 65 73 20 74 68 61 74 20 60 60 31 60 note.that.this.implies.that.``1`
1260 60 20 69 73 20 61 6c 77 61 79 73 0a 20 20 20 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 66 6f 72 20 3a 6d 61 `.is.always.....returned.for.:ma
1280 74 68 3a 60 61 5f 6e 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d th:`a_n`.......Examples.....----
12a0 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 ----.....>>>.from.numpy.polynomi
12c0 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e al.import.polynomial.as.P.....>>
12e0 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 28 2d 31 2c 30 2c 31 29 29 20 20 23 20 78 >.P.polyfromroots((-1,0,1))..#.x
1300 28 78 20 2d 20 31 29 28 78 20 2b 20 31 29 20 3d 20 78 5e 33 20 2d 20 78 0a 20 20 20 20 61 72 72 (x.-.1)(x.+.1).=.x^3.-.x.....arr
1320 61 79 28 5b 20 30 2e 2c 20 2d 31 2e 2c 20 20 30 2e 2c 20 20 31 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e ay([.0.,.-1.,..0.,..1.]).....>>>
1340 20 6a 20 3d 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 28 30 2c 31 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 .j.=.complex(0,1).....>>>.P.poly
1360 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 28 2d 6a 2c 6a 29 29 20 20 23 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 72 65 74 fromroots((-j,j))..#.complex.ret
1380 75 72 6e 65 64 2c 20 74 68 6f 75 67 68 20 76 61 6c 75 65 73 20 61 72 65 20 72 65 61 6c 0a 20 20 urned,.though.values.are.real...
13a0 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 31 2e 2b 30 2e 6a 2c 20 20 30 2e 2b 30 2e 6a 2c 20 20 31 2e 2b 30 2e ..array([1.+0.j,..0.+0.j,..1.+0.
13c0 6a 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 29 04 da 02 70 75 da 0a 5f 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 72 06 00 00 00 j])......)...pu.._fromrootsr....
13e0 72 0a 00 00 00 29 01 da 05 72 6f 6f 74 73 73 01 00 00 00 20 72 28 00 00 00 72 11 00 00 00 72 11 r....)...rootss.....r(...r....r.
1400 00 00 00 98 00 00 00 73 18 00 00 00 80 00 f4 7a 01 00 0c 0e 8f 3d 89 3d 9c 18 a4 37 a8 45 d3 0b .......s.......z.....=.=...7.E..
1420 32 d0 04 32 72 29 00 00 00 63 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 04 00 00 00 03 00 00 00 f3 2e 2..2r)...c......................
1440 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .....t.........j................
1460 00 00 00 7c 00 7c 01 ab 02 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 61 15 03 00 00 0a 20 20 20 20 41 64 64 ...|.|.........S.).a.........Add
1480 20 6f 6e 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 74 6f 20 61 6e 6f 74 68 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 .one.polynomial.to.another......
14a0 20 52 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 73 75 6d 20 6f 66 20 74 77 6f 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 .Returns.the.sum.of.two.polynomi
14c0 61 6c 73 20 60 63 31 60 20 2b 20 60 63 32 60 2e 20 20 54 68 65 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 20 als.`c1`.+.`c2`...The.arguments.
14e0 61 72 65 0a 20 20 20 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 73 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 are.....sequences.of.coefficient
1500 73 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 65 73 74 20 6f 72 64 65 72 20 74 65 72 6d 20 74 6f 20 68 69 67 68 s.from.lowest.order.term.to.high
1520 65 73 74 2c 20 69 2e 65 2e 2c 0a 20 20 20 20 5b 31 2c 32 2c 33 5d 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 est,.i.e.,.....[1,2,3].represent
1540 73 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 60 60 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 2a 78 s.the.polynomial.``1.+.2*x.+.3*x
1560 2a 2a 32 60 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d **2``.......Parameters.....-----
1580 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 31 2c 20 63 32 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 -----.....c1,.c2.:.array_like...
15a0 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 73 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 ......1-D.arrays.of.polynomial.c
15c0 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 20 oefficients.ordered.from.low.to.
15e0 68 69 67 68 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 high.......Returns.....-------..
1600 20 20 20 6f 75 74 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 63 6f 65 ...out.:.ndarray.........The.coe
1620 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 61 72 72 61 79 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 74 68 65 69 fficient.array.representing.thei
1640 72 20 73 75 6d 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d r.sum.......See.Also.....-------
1660 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 73 75 62 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 78 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c -.....polysub,.polymulx,.polymul
1680 2c 20 70 6f 6c 79 64 69 76 2c 20 70 6f 6c 79 70 6f 77 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 ,.polydiv,.polypow......Examples
16a0 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 .....--------.....>>>.from.numpy
16c0 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 .polynomial.import.polynomial.as
16e0 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 31 20 3d 20 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 0a 20 20 20 20 3e 3e .P.....>>>.c1.=.(1,.2,.3).....>>
1700 3e 20 63 32 20 3d 20 28 33 2c 20 32 2c 20 31 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 73 75 6d 20 3d 20 50 >.c2.=.(3,.2,.1).....>>>.sum.=.P
1720 2e 70 6f 6c 79 61 64 64 28 63 31 2c 63 32 29 3b 20 73 75 6d 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b .polyadd(c1,c2);.sum.....array([
1740 34 2e 2c 20 20 34 2e 2c 20 20 34 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 76 61 6c 4.,..4.,..4.]).....>>>.P.polyval
1760 28 32 2c 20 73 75 6d 29 20 20 23 20 34 20 2b 20 34 28 32 29 20 2b 20 34 28 32 2a 2a 32 29 0a 20 (2,.sum)..#.4.+.4(2).+.4(2**2)..
1780 20 20 20 32 38 2e 30 0a 0a 20 20 20 20 29 02 72 2b 00 00 00 da 04 5f 61 64 64 a9 02 da 02 63 31 ...28.0......).r+....._add....c1
17a0 da 02 63 32 73 02 00 00 00 20 20 72 28 00 00 00 72 07 00 00 00 72 07 00 00 00 d8 00 00 00 73 15 ..c2s......r(...r....r........s.
17c0 00 00 00 80 00 f4 42 01 00 0c 0e 8f 37 89 37 90 32 90 72 8b 3f d0 04 1a 72 29 00 00 00 63 02 00 ......B.....7.7.2.r.?...r)...c..
17e0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 04 00 00 00 03 00 00 00 f3 2e 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 .........................t......
1800 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 7c 01 ab 02 00 00 00 ...j...................|.|......
1820 00 00 00 53 00 29 01 61 33 03 00 00 0a 20 20 20 20 53 75 62 74 72 61 63 74 20 6f 6e 65 20 70 6f ...S.).a3........Subtract.one.po
1840 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 66 72 6f 6d 20 61 6e 6f 74 68 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 lynomial.from.another.......Retu
1860 72 6e 73 20 74 68 65 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 63 65 20 6f 66 20 74 77 6f 20 70 6f 6c 79 6e 6f rns.the.difference.of.two.polyno
1880 6d 69 61 6c 73 20 60 63 31 60 20 2d 20 60 63 32 60 2e 20 20 54 68 65 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 mials.`c1`.-.`c2`...The.argument
18a0 73 0a 20 20 20 20 61 72 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 73 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 s.....are.sequences.of.coefficie
18c0 6e 74 73 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 65 73 74 20 6f 72 64 65 72 20 74 65 72 6d 20 74 6f 20 68 69 nts.from.lowest.order.term.to.hi
18e0 67 68 65 73 74 2c 20 69 2e 65 2e 2c 0a 20 20 20 20 5b 31 2c 32 2c 33 5d 20 72 65 70 72 65 73 65 ghest,.i.e.,.....[1,2,3].represe
1900 6e 74 73 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 60 60 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 nts.the.polynomial.``1.+.2*x.+.3
1920 2a 78 2a 2a 32 60 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d *x**2``.......Parameters.....---
1940 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 31 2c 20 63 32 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a -------.....c1,.c2.:.array_like.
1960 20 20 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 73 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c ........1-D.arrays.of.polynomial
1980 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 .coefficients.ordered.from.low.t
19a0 6f 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 68 69 67 68 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 o.........high.......Returns....
19c0 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6f 75 74 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 .-------.....out.:.ndarray......
19e0 20 20 20 4f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 ...Of.coefficients.representing.
1a00 74 68 65 69 72 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 63 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a their.difference.......See.Also.
1a20 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 61 64 64 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 ....--------.....polyadd,.polymu
1a40 6c 78 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 2c 20 70 6f 6c 79 64 69 76 2c 20 70 6f 6c 79 70 6f 77 0a 0a 20 lx,.polymul,.polydiv,.polypow...
1a60 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e ...Examples.....--------.....>>>
1a80 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f .from.numpy.polynomial.import.po
1aa0 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 31 20 3d 20 28 31 2c 20 32 lynomial.as.P.....>>>.c1.=.(1,.2
1ac0 2c 20 33 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 32 20 3d 20 28 33 2c 20 32 2c 20 31 29 0a 20 20 20 20 ,.3).....>>>.c2.=.(3,.2,.1).....
1ae0 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 73 75 62 28 63 31 2c 63 32 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b >>>.P.polysub(c1,c2).....array([
1b00 2d 32 2e 2c 20 20 30 2e 2c 20 20 32 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 73 75 -2.,..0.,..2.]).....>>>.P.polysu
1b20 62 28 63 32 2c 20 63 31 29 20 20 23 20 2d 50 2e 70 6f 6c 79 73 75 62 28 63 31 2c 63 32 29 0a 20 b(c2,.c1)..#.-P.polysub(c1,c2)..
1b40 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 32 2e 2c 20 20 30 2e 2c 20 2d 32 2e 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 29 ...array([.2.,..0.,.-2.])......)
1b60 02 72 2b 00 00 00 da 04 5f 73 75 62 72 30 00 00 00 73 02 00 00 00 20 20 72 28 00 00 00 72 08 00 .r+....._subr0...s......r(...r..
1b80 00 00 72 08 00 00 00 fc 00 00 00 73 15 00 00 00 80 00 f4 44 01 00 0c 0e 8f 37 89 37 90 32 90 72 ..r........s.......D.....7.7.2.r
1ba0 8b 3f d0 04 1a 72 29 00 00 00 63 01 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 05 00 00 00 03 00 00 00 f3 .?...r)...c.....................
1bc0 e0 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ......t.........j...............
1be0 00 00 00 00 7c 00 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 5c 01 00 00 7d 00 74 05 00 00 00 00 00 00 00 00 ....|.g.........\...}.t.........
1c00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 01 6b 28 00 00 72 0a 7c 00 64 02 19 00 00 00 64 02 6b 28 00 00 |.........d.k(..r.|.d.....d.k(..
1c20 72 02 7c 00 53 00 74 07 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 08 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 r.|.S.t.........j...............
1c40 00 00 00 00 74 05 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 01 7a 00 00 00 7c 00 ....t.........|.........d.z...|.
1c60 6a 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ac 03 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 01 j.............................}.
1c80 7c 00 64 02 19 00 00 00 64 02 7a 05 00 00 7c 01 64 02 3c 00 00 00 7c 00 7c 01 64 01 64 04 1b 00 |.d.....d.z...|.d.<...|.|.d.d...
1ca0 7c 01 53 00 29 05 61 3e 02 00 00 4d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c |.S.).a>...Multiply.a.polynomial
1cc0 20 62 79 20 78 2e 0a 0a 20 20 20 20 4d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d .by.x.......Multiply.the.polynom
1ce0 69 61 6c 20 60 63 60 20 62 79 20 78 2c 20 77 68 65 72 65 20 78 20 69 73 20 74 68 65 20 69 6e 64 ial.`c`.by.x,.where.x.is.the.ind
1d00 65 70 65 6e 64 65 6e 74 0a 20 20 20 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 2e 0a 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 ependent.....variable........Par
1d20 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 61 ameters.....----------.....c.:.a
1d40 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 20 70 rray_like.........1-D.array.of.p
1d60 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 66 olynomial.coefficients.ordered.f
1d80 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 68 69 67 68 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 rom.low.to.........high.......Re
1da0 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6f 75 74 20 3a 20 6e 64 61 72 turns.....-------.....out.:.ndar
1dc0 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 61 79 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 74 ray.........Array.representing.t
1de0 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 6f 66 20 74 68 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 2e he.result.of.the.multiplication.
1e00 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 ......See.Also.....--------.....
1e20 70 6f 6c 79 61 64 64 2c 20 70 6f 6c 79 73 75 62 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 2c 20 70 6f 6c 79 64 polyadd,.polysub,.polymul,.polyd
1e40 69 76 2c 20 70 6f 6c 79 70 6f 77 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d iv,.polypow......Examples.....--
1e60 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f ------.....>>>.from.numpy.polyno
1e80 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 mial.import.polynomial.as.P.....
1ea0 3e 3e 3e 20 63 20 3d 20 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 >>>.c.=.(1,.2,.3).....>>>.P.poly
1ec0 6d 75 6c 78 28 63 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 30 2e 2c 20 31 2e 2c 20 32 2e 2c 20 33 mulx(c).....array([0.,.1.,.2.,.3
1ee0 2e 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 72 20 00 00 00 72 1e 00 00 00 a9 01 da 05 64 74 79 70 65 4e 29 06 72 .])......r....r........dtypeN).r
1f00 2b 00 00 00 da 09 61 73 5f 73 65 72 69 65 73 da 03 6c 65 6e 72 24 00 00 00 da 05 65 6d 70 74 79 +.....as_series..lenr$.....empty
1f20 72 37 00 00 00 29 02 da 01 63 da 03 70 72 64 73 02 00 00 00 20 20 72 28 00 00 00 72 09 00 00 00 r7...)...c..prds......r(...r....
1f40 72 09 00 00 00 21 01 00 00 73 6d 00 00 00 80 00 f4 3e 00 0b 0d 8f 2c 89 2c 98 01 90 73 d3 0a 1b r....!...sm......>....,.,...s...
1f60 81 43 80 51 e4 07 0a 88 31 83 76 90 11 82 7b 90 71 98 11 91 74 98 71 92 79 d8 0f 10 88 08 e4 0a .C.Q....1.v...{.q...t.q.y.......
1f80 0c 8f 28 89 28 94 33 90 71 93 36 98 41 91 3a a0 51 a7 57 a1 57 d4 0a 2d 80 43 d8 0d 0e 88 71 89 ..(.(.3.q.6.A.:.Q.W.W..-.C....q.
1fa0 54 90 41 89 58 80 43 88 01 81 46 d8 0e 0f 80 43 88 01 88 02 80 47 d8 0b 0e 80 4a 72 29 00 00 00 T.A.X.C...F....C.....G....Jr)...
1fc0 63 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 04 00 00 00 03 00 00 00 f3 8c 00 00 00 97 00 74 01 00 00 c...........................t...
1fe0 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 7c 01 67 02 ......j...................|.|.g.
2000 ab 01 00 00 00 00 00 00 5c 02 00 00 7d 00 7d 01 74 05 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 06 00 00 00 00 ........\...}.}.t.........j.....
2020 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 7c 01 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 02 74 01 00 00 ..............|.|.........}.t...
2040 00 00 00 00 00 00 6a 08 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 02 ab 01 00 00 ......j...................|.....
2060 00 00 00 00 53 00 29 01 61 33 03 00 00 0a 20 20 20 20 4d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 6f 6e 65 20 70 ....S.).a3........Multiply.one.p
2080 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 62 79 20 61 6e 6f 74 68 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 olynomial.by.another.......Retur
20a0 6e 73 20 74 68 65 20 70 72 6f 64 75 63 74 20 6f 66 20 74 77 6f 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c ns.the.product.of.two.polynomial
20c0 73 20 60 63 31 60 20 2a 20 60 63 32 60 2e 20 20 54 68 65 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 20 61 72 s.`c1`.*.`c2`...The.arguments.ar
20e0 65 0a 20 20 20 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 73 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2c e.....sequences.of.coefficients,
2100 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 65 73 74 20 6f 72 64 65 72 20 74 65 72 6d 20 74 6f 20 68 69 67 68 65 .from.lowest.order.term.to.highe
2120 73 74 2c 20 65 2e 67 2e 2c 0a 20 20 20 20 5b 31 2c 32 2c 33 5d 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 73 st,.e.g.,.....[1,2,3].represents
2140 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 60 60 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 2a 78 2a .the.polynomial.``1.+.2*x.+.3*x*
2160 2a 32 2e 60 60 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d *2.``......Parameters.....------
2180 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 31 2c 20 63 32 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 ----.....c1,.c2.:.array_like....
21a0 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 73 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 .....1-D.arrays.of.coefficients.
21c0 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2c 20 72 65 6c 61 74 representing.a.polynomial,.relat
21e0 69 76 65 20 74 6f 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 22 73 74 61 6e 64 61 72 64 22 20 62 61 ive.to.the........."standard".ba
2200 73 69 73 2c 20 61 6e 64 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 65 73 74 20 6f 72 64 sis,.and.ordered.from.lowest.ord
2220 65 72 20 74 65 72 6d 20 74 6f 20 68 69 67 68 65 73 74 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 er.term.to.highest.......Returns
2240 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6f 75 74 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 .....-------.....out.:.ndarray..
2260 20 20 20 20 20 20 20 4f 66 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 66 20 74 68 .......Of.the.coefficients.of.th
2280 65 69 72 20 70 72 6f 64 75 63 74 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d eir.product.......See.Also.....-
22a0 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 61 64 64 2c 20 70 6f 6c 79 73 75 62 2c 20 70 6f -------.....polyadd,.polysub,.po
22c0 6c 79 6d 75 6c 78 2c 20 70 6f 6c 79 64 69 76 2c 20 70 6f 6c 79 70 6f 77 0a 0a 20 20 20 20 45 78 lymulx,.polydiv,.polypow......Ex
22e0 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d amples.....--------.....>>>.from
2300 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d .numpy.polynomial.import.polynom
2320 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 31 20 3d 20 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 0a ial.as.P.....>>>.c1.=.(1,.2,.3).
2340 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 32 20 3d 20 28 33 2c 20 32 2c 20 31 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 ....>>>.c2.=.(3,.2,.1).....>>>.P
2360 2e 70 6f 6c 79 6d 75 6c 28 63 31 2c 20 63 32 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 20 33 2e .polymul(c1,.c2).....array([..3.
2380 2c 20 20 20 38 2e 2c 20 20 31 34 2e 2c 20 20 20 38 2e 2c 20 20 20 33 2e 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 ,...8.,..14.,...8.,...3.])......
23a0 29 05 72 2b 00 00 00 72 38 00 00 00 72 24 00 00 00 da 08 63 6f 6e 76 6f 6c 76 65 da 07 74 72 69 ).r+...r8...r$.....convolve..tri
23c0 6d 73 65 71 29 03 72 31 00 00 00 72 32 00 00 00 da 03 72 65 74 73 03 00 00 00 20 20 20 72 28 00 mseq).r1...r2.....rets.......r(.
23e0 00 00 72 0a 00 00 00 72 0a 00 00 00 4b 01 00 00 73 39 00 00 00 80 00 f4 42 01 00 10 12 8f 7c 89 ..r....r....K...s9......B.....|.
2400 7c 98 52 a0 12 98 48 d3 0f 25 81 48 80 52 88 12 dc 0a 0c 8f 2b 89 2b 90 62 98 22 d3 0a 1d 80 43 |.R...H..%.H.R......+.+.b."....C
2420 dc 0b 0d 8f 3a 89 3a 90 63 8b 3f d0 04 1a 72 29 00 00 00 63 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ....:.:.c.?...r)...c............
2440 07 00 00 00 03 00 00 00 f3 96 01 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 ...............t.........j......
2460 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 7c 01 67 02 ab 01 00 00 00 00 00 00 5c 02 00 00 7d .............|.|.g.........\...}
2480 00 7d 01 7c 01 64 01 19 00 00 00 64 02 6b 28 00 00 72 06 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 82 01 74 .}.|.d.....d.k(..r.t...........t
24a0 07 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 02 74 07 00 00 00 00 00 00 00 00 7c .........|.........}.t.........|
24c0 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 03 7c 02 7c 03 6b 02 00 00 72 0a 7c 00 64 03 64 04 1a 00 64 02 7a .........}.|.|.k...r.|.d.d...d.z
24e0 05 00 00 7c 00 66 02 53 00 7c 03 64 04 6b 28 00 00 72 10 7c 00 7c 01 64 01 19 00 00 00 7a 0b 00 ...|.f.S.|.d.k(..r.|.|.d.....z..
2500 00 7c 00 64 03 64 04 1a 00 64 02 7a 05 00 00 66 02 53 00 7c 02 7c 03 7a 0a 00 00 7d 04 7c 01 64 .|.d.d...d.z...f.S.|.|.z...}.|.d
2520 01 19 00 00 00 7d 05 7c 01 64 03 64 01 1a 00 7c 05 7a 0b 00 00 7d 01 7c 04 7d 06 7c 02 64 04 7a .....}.|.d.d...|.z...}.|.}.|.d.z
2540 0a 00 00 7d 07 7c 06 64 02 6b 5c 00 00 72 24 7c 00 7c 06 7c 07 78 03 78 03 78 03 1a 00 7c 01 7c ...}.|.d.k\..r$|.|.|.x.x.x...|.|
2560 00 7c 07 19 00 00 00 7a 05 00 00 7a 17 00 00 63 04 63 03 63 02 1b 00 7c 06 64 04 7a 17 00 00 7d .|.....z...z...c.c.c...|.d.z...}
2580 06 7c 07 64 04 7a 17 00 00 7d 07 7c 06 64 02 6b 5c 00 00 72 01 8c 24 7c 00 7c 07 64 04 7a 00 00 .|.d.z...}.|.d.k\..r..$|.|.d.z..
25a0 00 64 03 1a 00 7c 05 7a 0b 00 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 08 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .d...|.z...t.........j..........
25c0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 03 7c 07 64 04 7a 00 00 00 1a 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 66 .........|.d.|.d.z.............f
25e0 02 53 00 29 05 61 62 03 00 00 0a 20 20 20 20 44 69 76 69 64 65 20 6f 6e 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f .S.).ab........Divide.one.polyno
2600 6d 69 61 6c 20 62 79 20 61 6e 6f 74 68 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 mial.by.another.......Returns.th
2620 65 20 71 75 6f 74 69 65 6e 74 2d 77 69 74 68 2d 72 65 6d 61 69 6e 64 65 72 20 6f 66 20 74 77 6f e.quotient-with-remainder.of.two
2640 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 20 60 63 31 60 20 2f 20 60 63 32 60 2e 0a 20 20 20 20 54 68 .polynomials.`c1`./.`c2`......Th
2660 65 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 73 20 6f 66 20 63 6f 65 e.arguments.are.sequences.of.coe
2680 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2c 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 65 73 74 20 6f 72 64 65 72 20 74 65 72 fficients,.from.lowest.order.ter
26a0 6d 0a 20 20 20 20 74 6f 20 68 69 67 68 65 73 74 2c 20 65 2e 67 2e 2c 20 5b 31 2c 32 2c 33 5d 20 m.....to.highest,.e.g.,.[1,2,3].
26c0 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 73 20 60 60 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 2a 78 2a 2a 32 60 60 2e represents.``1.+.2*x.+.3*x**2``.
26e0 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a ......Parameters.....----------.
2700 20 20 20 20 63 31 2c 20 63 32 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 ....c1,.c2.:.array_like.........
2720 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 73 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 1-D.arrays.of.polynomial.coeffic
2740 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 20 68 69 67 68 2e 0a ients.ordered.from.low.to.high..
2760 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 5b 71 75 .....Returns.....-------.....[qu
2780 6f 2c 20 72 65 6d 5d 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 4f 66 20 63 6f o,.rem].:.ndarrays.........Of.co
27a0 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 73 65 72 69 65 73 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 74 68 efficient.series.representing.th
27c0 65 20 71 75 6f 74 69 65 6e 74 20 61 6e 64 20 72 65 6d 61 69 6e 64 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 e.quotient.and.remainder.......S
27e0 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 61 64 64 ee.Also.....--------.....polyadd
2800 2c 20 70 6f 6c 79 73 75 62 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 78 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 2c 20 70 6f ,.polysub,.polymulx,.polymul,.po
2820 6c 79 70 6f 77 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d lypow......Examples.....--------
2840 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 .....>>>.from.numpy.polynomial.i
2860 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 31 mport.polynomial.as.P.....>>>.c1
2880 20 3d 20 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 32 20 3d 20 28 33 2c 20 32 2c .=.(1,.2,.3).....>>>.c2.=.(3,.2,
28a0 20 31 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 64 69 76 28 63 31 2c 20 63 32 29 0a 20 20 .1).....>>>.P.polydiv(c1,.c2)...
28c0 20 20 28 61 72 72 61 79 28 5b 33 2e 5d 29 2c 20 61 72 72 61 79 28 5b 2d 38 2e 2c 20 2d 34 2e 5d ..(array([3.]),.array([-8.,.-4.]
28e0 29 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 64 69 76 28 63 32 2c 20 63 31 29 0a 20 20 20 )).....>>>.P.polydiv(c2,.c1)....
2900 20 28 61 72 72 61 79 28 5b 20 30 2e 33 33 33 33 33 33 33 33 5d 29 2c 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 .(array([.0.33333333]),.array([.
2920 32 2e 36 36 36 36 36 36 36 37 2c 20 20 31 2e 33 33 33 33 33 33 33 33 5d 29 29 20 20 23 20 6d 61 2.66666667,..1.33333333]))..#.ma
2940 79 20 76 61 72 79 0a 0a 20 20 20 20 e9 ff ff ff ff 72 1e 00 00 00 4e 72 20 00 00 00 29 05 72 2b y.vary...........r....Nr....).r+
2960 00 00 00 72 38 00 00 00 da 11 5a 65 72 6f 44 69 76 69 73 69 6f 6e 45 72 72 6f 72 72 39 00 00 00 ...r8.....ZeroDivisionErrorr9...
2980 72 3f 00 00 00 29 08 72 31 00 00 00 72 32 00 00 00 da 03 6c 63 31 da 03 6c 63 32 da 04 64 6c 65 r?...).r1...r2.....lc1..lc2..dle
29a0 6e 72 27 00 00 00 da 01 69 da 01 6a 73 08 00 00 00 20 20 20 20 20 20 20 20 72 28 00 00 00 72 0b nr'.....i..js............r(...r.
29c0 00 00 00 72 0b 00 00 00 71 01 00 00 73 17 01 00 00 80 00 f4 44 01 00 10 12 8f 7c 89 7c 98 52 a0 ...r....q...s.......D.....|.|.R.
29e0 12 98 48 d3 0f 25 81 48 80 52 88 12 d8 07 09 88 22 81 76 90 11 82 7b dc 0e 1f d0 08 1f f4 06 00 ..H..%.H.R......".v...{.........
2a00 0b 0e 88 62 8b 27 80 43 dc 0a 0d 88 62 8b 27 80 43 d8 07 0a 88 53 82 79 d8 0f 11 90 22 90 31 88 ...b.'.C....b.'.C....S.y....".1.
2a20 76 98 01 89 7a 98 32 88 7e d0 08 1d d8 09 0c 90 01 8a 18 d8 0f 11 90 42 90 72 91 46 89 7b 98 42 v...z.2.~..............B.r.F.{.B
2a40 98 72 a0 01 98 46 a0 51 99 4a d0 0f 26 d0 08 26 e0 0f 12 90 53 89 79 88 04 d8 0e 10 90 12 89 66 .r...F.Q.J..&..&....S.y........f
2a60 88 03 d8 0d 0f 90 03 90 12 88 57 90 73 89 5d 88 02 d8 0c 10 88 01 d8 0c 0f 90 21 89 47 88 01 d8 ..........W.s.]...........!.G...
2a80 0e 0f 90 31 8a 66 d8 0c 0e 88 71 90 11 8b 47 90 72 98 42 98 71 99 45 91 7a d1 0c 21 8b 47 d8 0c ...1.f....q...G.r.B.q.E.z..!.G..
2aa0 0d 90 11 89 46 88 41 d8 0c 0d 90 11 89 46 88 41 f0 07 00 0f 10 90 31 8b 66 f0 08 00 10 12 90 21 ....F.A......F.A......1.f......!
2ac0 90 61 91 25 90 26 88 7a 98 43 d1 0f 1f a4 12 a7 1a a1 1a a8 42 a8 76 b0 01 b0 41 b1 05 a8 4a d3 .a.%.&.z.C..........B.v...A...J.
2ae0 21 37 d0 0f 37 d0 08 37 72 29 00 00 00 63 03 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 06 00 00 00 03 00 !7..7..7r)...c..................
2b00 00 00 f3 4e 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...N.....t.........j............
2b20 00 00 00 00 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 06 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .......t.........j..............
2b40 00 00 00 00 00 7c 00 7c 01 7c 02 ab 04 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 61 76 03 00 00 52 61 69 73 .....|.|.|.........S.).av...Rais
2b60 65 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 74 6f 20 61 20 70 6f 77 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 20 e.a.polynomial.to.a.power.......
2b80 52 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 60 63 60 20 72 61 69 73 65 Returns.the.polynomial.`c`.raise
2ba0 64 20 74 6f 20 74 68 65 20 70 6f 77 65 72 20 60 70 6f 77 60 2e 20 54 68 65 20 61 72 67 75 6d 65 d.to.the.power.`pow`..The.argume
2bc0 6e 74 0a 20 20 20 20 60 63 60 20 69 73 20 61 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 66 20 63 6f 65 66 nt.....`c`.is.a.sequence.of.coef
2be0 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 20 68 69 67 ficients.ordered.from.low.to.hig
2c00 68 2e 20 69 2e 65 2e 2c 0a 20 20 20 20 5b 31 2c 32 2c 33 5d 20 69 73 20 74 68 65 20 73 65 72 69 h..i.e.,.....[1,2,3].is.the.seri
2c20 65 73 20 20 60 60 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 2a 78 2a 2a 32 2e 60 60 0a 0a 20 20 20 20 50 es..``1.+.2*x.+.3*x**2.``......P
2c40 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 20 3a arameters.....----------.....c.:
2c60 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 .array_like.........1-D.array.of
2c80 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 20 73 65 72 69 65 73 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 .array.of.series.coefficients.or
2ca0 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 68 69 67 68 20 64 dered.from.low.to.........high.d
2cc0 65 67 72 65 65 2e 0a 20 20 20 20 70 6f 77 20 3a 20 69 6e 74 65 67 65 72 0a 20 20 20 20 20 20 20 egree......pow.:.integer........
2ce0 20 50 6f 77 65 72 20 74 6f 20 77 68 69 63 68 20 74 68 65 20 73 65 72 69 65 73 20 77 69 6c 6c 20 .Power.to.which.the.series.will.
2d00 62 65 20 72 61 69 73 65 64 0a 20 20 20 20 6d 61 78 70 6f 77 65 72 20 3a 20 69 6e 74 65 67 65 72 be.raised.....maxpower.:.integer
2d20 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 4d 61 78 69 6d 75 6d 20 70 6f 77 65 72 ,.optional.........Maximum.power
2d40 20 61 6c 6c 6f 77 65 64 2e 20 54 68 69 73 20 69 73 20 6d 61 69 6e 6c 79 20 74 6f 20 6c 69 6d 69 .allowed..This.is.mainly.to.limi
2d60 74 20 67 72 6f 77 74 68 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 65 72 69 65 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 74 t.growth.of.the.series.........t
2d80 6f 20 75 6e 6d 61 6e 61 67 65 61 62 6c 65 20 73 69 7a 65 2e 20 44 65 66 61 75 6c 74 20 69 73 20 o.unmanageable.size..Default.is.
2da0 31 36 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 16......Returns.....-------.....
2dc0 63 6f 65 66 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 50 6f 77 65 72 20 73 65 72 coef.:.ndarray.........Power.ser
2de0 69 65 73 20 6f 66 20 70 6f 77 65 72 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 ies.of.power.......See.Also.....
2e00 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 61 64 64 2c 20 70 6f 6c 79 73 75 62 2c 20 70 --------.....polyadd,.polysub,.p
2e20 6f 6c 79 6d 75 6c 78 2c 20 70 6f 6c 79 6d 75 6c 2c 20 70 6f 6c 79 64 69 76 0a 0a 20 20 20 20 45 olymulx,.polymul,.polydiv......E
2e40 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f xamples.....--------.....>>>.fro
2e60 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f m.numpy.polynomial.import.polyno
2e80 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 70 6f 77 28 5b 31 2c 20 mial.as.P.....>>>.P.polypow([1,.
2ea0 32 2c 20 33 5d 2c 20 32 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 31 2e 2c 20 34 2e 2c 20 31 30 2,.3],.2).....array([.1.,.4.,.10
2ec0 2e 2c 20 31 32 2e 2c 20 39 2e 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 29 04 72 2b 00 00 00 da 04 5f 70 6f 77 72 .,.12.,.9.])......).r+....._powr
2ee0 24 00 00 00 72 3e 00 00 00 29 03 72 3b 00 00 00 da 03 70 6f 77 da 08 6d 61 78 70 6f 77 65 72 73 $...r>...).r;.....pow..maxpowers
2f00 03 00 00 00 20 20 20 72 28 00 00 00 72 0c 00 00 00 72 0c 00 00 00 ab 01 00 00 73 1e 00 00 00 80 .......r(...r....r........s.....
2f20 00 f4 48 01 00 0c 0e 8f 37 89 37 94 32 97 3b 91 3b a0 01 a0 33 a8 08 d3 0b 31 d0 04 31 72 29 00 ..H.....7.7.2.;.;...3....1..1r).
2f40 00 00 63 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 07 00 00 00 03 00 00 00 f3 90 02 00 00 97 00 74 01 ..c...........................t.
2f60 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 01 ........j...................|.d.
2f80 64 02 ac 03 ab 03 00 00 00 00 00 00 7d 00 7c 00 6a 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 d...........}.|.j...............
2fa0 00 00 00 00 6a 06 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 04 76 00 72 05 7c 00 ....j...................d.v.r.|.
2fc0 64 05 7a 00 00 00 7d 00 7c 00 6a 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7d 04 d.z...}.|.j...................}.
2fe0 74 09 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 t.........j...................|.
3000 64 06 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 05 74 09 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 d.........}.t.........j.........
3020 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 03 64 07 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 06 7c 05 64 08 6b 02 00 00 ..........|.d.........}.|.d.k...
3040 72 0b 74 0d 00 00 00 00 00 00 00 00 64 09 ab 01 00 00 00 00 00 00 82 01 74 0f 00 00 00 00 00 00 r.t.........d...........t.......
3060 00 00 7c 06 7c 00 6a 10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ab 02 00 00 00 00 ..|.|.j.........................
3080 00 00 7d 06 7c 05 64 08 6b 28 00 00 72 02 7c 00 53 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 12 00 00 ..}.|.d.k(..r.|.S.t.........j...
30a0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 7c 06 64 08 ab 03 00 00 00 00 00 00 7d 00 ................|.|.d.........}.
30c0 74 15 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 07 7c 05 7c 07 6b 5c 00 00 72 09 t.........|.........}.|.|.k\..r.
30e0 7c 00 64 0a 64 01 1a 00 64 08 7a 05 00 00 7d 00 6e 64 74 17 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 05 ab 01 |.d.d...d.z...}.ndt.........|...
3100 00 00 00 00 00 00 44 00 5d 56 00 00 7d 08 7c 07 64 01 7a 0a 00 00 7d 07 7c 00 7c 02 7a 12 00 00 ......D.]V..}.|.d.z...}.|.|.z...
3120 7d 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 18 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 }.t.........j...................
3140 7c 07 66 01 7c 00 6a 1a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 01 64 0a 1a 00 |.f.|.j...................d.d...
3160 7a 00 00 00 7c 04 ac 0b ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 09 74 17 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 07 64 08 z...|...........}.t.........|.d.
3180 64 0c ab 03 00 00 00 00 00 00 44 00 5d 10 00 00 7d 0a 7c 0a 7c 00 7c 0a 19 00 00 00 7a 05 00 00 d.........D.]...}.|.|.|.....z...
31a0 7c 09 7c 0a 64 01 7a 0a 00 00 3c 00 00 00 8c 12 04 00 7c 09 7d 00 8c 58 04 00 74 01 00 00 00 00 |.|.d.z...<.......|.}..X..t.....
31c0 00 00 00 00 6a 12 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 08 7c 06 ab 03 ....j...................|.d.|...
31e0 00 00 00 00 00 00 7d 00 7c 00 53 00 29 0d 61 79 06 00 00 0a 20 20 20 20 44 69 66 66 65 72 65 6e ......}.|.S.).ay........Differen
3200 74 69 61 74 65 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 tiate.a.polynomial.......Returns
3220 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 60 63 60 .the.polynomial.coefficients.`c`
3240 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 69 61 74 65 64 20 60 6d 60 20 74 69 6d 65 73 20 61 6c 6f 6e 67 0a .differentiated.`m`.times.along.
3260 20 20 20 20 60 61 78 69 73 60 2e 20 20 41 74 20 65 61 63 68 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 20 74 ....`axis`...At.each.iteration.t
3280 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 69 73 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 65 64 20 62 79 20 60 73 63 6c 60 he.result.is.multiplied.by.`scl`
32a0 20 28 74 68 65 0a 20 20 20 20 73 63 61 6c 69 6e 67 20 66 61 63 74 6f 72 20 69 73 20 66 6f 72 20 .(the.....scaling.factor.is.for.
32c0 75 73 65 20 69 6e 20 61 20 6c 69 6e 65 61 72 20 63 68 61 6e 67 65 20 6f 66 20 76 61 72 69 61 62 use.in.a.linear.change.of.variab
32e0 6c 65 29 2e 20 20 54 68 65 0a 20 20 20 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 20 60 63 60 20 69 73 20 61 6e le)...The.....argument.`c`.is.an
3300 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 .array.of.coefficients.from.low.
3320 74 6f 20 68 69 67 68 20 64 65 67 72 65 65 20 61 6c 6f 6e 67 0a 20 20 20 20 65 61 63 68 20 61 78 to.high.degree.along.....each.ax
3340 69 73 2c 20 65 2e 67 2e 2c 20 5b 31 2c 32 2c 33 5d 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 73 20 74 68 65 is,.e.g.,.[1,2,3].represents.the
3360 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 60 60 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 2a 78 2a 2a 32 60 60 .polynomial.``1.+.2*x.+.3*x**2``
3380 0a 20 20 20 20 77 68 69 6c 65 20 5b 5b 31 2c 32 5d 2c 5b 31 2c 32 5d 5d 20 72 65 70 72 65 73 65 .....while.[[1,2],[1,2]].represe
33a0 6e 74 73 20 60 60 31 20 2b 20 31 2a 78 20 2b 20 32 2a 79 20 2b 20 32 2a 78 2a 79 60 60 20 69 66 nts.``1.+.1*x.+.2*y.+.2*x*y``.if
33c0 20 61 78 69 73 3d 30 20 69 73 0a 20 20 20 20 60 60 78 60 60 20 61 6e 64 20 61 78 69 73 3d 31 20 .axis=0.is.....``x``.and.axis=1.
33e0 69 73 20 60 60 79 60 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d is.``y``.......Parameters.....--
3400 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 --------.....c.:.array_like.....
3420 20 20 20 20 41 72 72 61 79 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 ....Array.of.polynomial.coeffici
3440 65 6e 74 73 2e 20 49 66 20 63 20 69 73 20 6d 75 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 74 ents..If.c.is.multidimensional.t
3460 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 20 61 78 69 73 20 63 6f 72 72 65 73 he.........different.axis.corres
3480 70 6f 6e 64 20 74 6f 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 73 20 77 69 74 68 pond.to.different.variables.with
34a0 20 74 68 65 20 64 65 67 72 65 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 69 6e 20 65 61 63 68 20 61 78 69 73 .the.degree.........in.each.axis
34c0 20 67 69 76 65 6e 20 62 79 20 74 68 65 20 63 6f 72 72 65 73 70 6f 6e 64 69 6e 67 20 69 6e 64 65 .given.by.the.corresponding.inde
34e0 78 2e 0a 20 20 20 20 6d 20 3a 20 69 6e 74 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 x......m.:.int,.optional........
3500 20 4e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 74 61 6b 65 6e 2c 20 6d 75 .Number.of.derivatives.taken,.mu
3520 73 74 20 62 65 20 6e 6f 6e 2d 6e 65 67 61 74 69 76 65 2e 20 28 44 65 66 61 75 6c 74 3a 20 31 29 st.be.non-negative..(Default:.1)
3540 0a 20 20 20 20 73 63 6c 20 3a 20 73 63 61 6c 61 72 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 .....scl.:.scalar,.optional.....
3560 20 20 20 20 45 61 63 68 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 69 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 6d 75 6c 74 ....Each.differentiation.is.mult
3580 69 70 6c 69 65 64 20 62 79 20 60 73 63 6c 60 2e 20 20 54 68 65 20 65 6e 64 20 72 65 73 75 6c 74 iplied.by.`scl`...The.end.result
35a0 20 69 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 62 79 20 60 60 .is.........multiplication.by.``
35c0 73 63 6c 2a 2a 6d 60 60 2e 20 20 54 68 69 73 20 69 73 20 66 6f 72 20 75 73 65 20 69 6e 20 61 20 scl**m``...This.is.for.use.in.a.
35e0 6c 69 6e 65 61 72 20 63 68 61 6e 67 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6f 66 20 76 61 72 69 61 62 6c linear.change.........of.variabl
3600 65 2e 20 28 44 65 66 61 75 6c 74 3a 20 31 29 0a 20 20 20 20 61 78 69 73 20 3a 20 69 6e 74 2c 20 e..(Default:.1).....axis.:.int,.
3620 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 78 69 73 20 6f 76 65 72 20 77 68 69 63 68 optional.........Axis.over.which
3640 20 74 68 65 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 20 69 73 20 74 61 6b 65 6e 2e 20 28 44 65 66 61 75 .the.derivative.is.taken..(Defau
3660 6c 74 3a 20 30 29 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d lt:.0).......Returns.....-------
3680 0a 20 20 20 20 64 65 72 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 50 6f 6c 79 6e .....der.:.ndarray.........Polyn
36a0 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 64 65 72 69 76 61 omial.coefficients.of.the.deriva
36c0 74 69 76 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d tive.......See.Also.....--------
36e0 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 69 6e 74 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d .....polyint......Examples.....-
3700 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e -------.....>>>.from.numpy.polyn
3720 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 omial.import.polynomial.as.P....
3740 20 3e 3e 3e 20 63 20 3d 20 28 31 2c 20 32 2c 20 33 2c 20 34 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e .>>>.c.=.(1,.2,.3,.4).....>>>.P.
3760 70 6f 6c 79 64 65 72 28 63 29 20 20 23 20 28 64 2f 64 78 29 28 63 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 polyder(c)..#.(d/dx)(c).....arra
3780 79 28 5b 20 20 32 2e 2c 20 20 20 36 2e 2c 20 20 31 32 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e y([..2.,...6.,..12.]).....>>>.P.
37a0 70 6f 6c 79 64 65 72 28 63 2c 20 33 29 20 20 23 20 28 64 2a 2a 33 2f 64 78 2a 2a 33 29 28 63 29 polyder(c,.3)..#.(d**3/dx**3)(c)
37c0 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 32 34 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 .....array([24.]).....>>>.P.poly
37e0 64 65 72 28 63 2c 20 73 63 6c 3d 2d 31 29 20 20 23 20 28 64 2f 64 28 2d 78 29 29 28 63 29 0a 20 der(c,.scl=-1)..#.(d/d(-x))(c)..
3800 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 2d 32 2e 2c 20 20 2d 36 2e 2c 20 2d 31 32 2e 5d 29 0a 20 20 20 ...array([.-2.,..-6.,.-12.])....
3820 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 64 65 72 28 63 2c 20 32 2c 20 2d 31 29 20 20 23 20 28 64 2a 2a .>>>.P.polyder(c,.2,.-1)..#.(d**
3840 32 2f 64 28 2d 78 29 2a 2a 32 29 28 63 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 20 36 2e 2c 20 2/d(-x)**2)(c).....array([..6.,.
3860 20 32 34 2e 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 72 20 00 00 00 54 a9 02 da 05 6e 64 6d 69 6e da 04 63 6f 70 .24.])......r....T....ndmin..cop
3880 79 fa 0d 3f 62 42 68 48 69 49 6c 4c 71 51 70 50 e7 00 00 00 00 00 00 00 00 7a 17 74 68 65 20 6f y..?bBhHiIlLqQpP.........z.the.o
38a0 72 64 65 72 20 6f 66 20 64 65 72 69 76 61 74 69 6f 6e fa 08 74 68 65 20 61 78 69 73 72 1e 00 00 rder.of.derivation..the.axisr...
38c0 00 7a 2c 54 68 65 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 20 64 65 72 69 76 61 74 69 6f 6e 20 6d 75 73 74 20 .z,The.order.of.derivation.must.
38e0 62 65 20 6e 6f 6e 2d 6e 65 67 61 74 69 76 65 4e 72 36 00 00 00 72 42 00 00 00 29 0e 72 24 00 00 be.non-negativeNr6...rB...).r$..
3900 00 72 25 00 00 00 72 37 00 00 00 da 04 63 68 61 72 72 2b 00 00 00 da 07 5f 61 73 5f 69 6e 74 da .r%...r7.....charr+....._as_int.
3920 0a 56 61 6c 75 65 45 72 72 6f 72 72 1f 00 00 00 da 04 6e 64 69 6d da 08 6d 6f 76 65 61 78 69 73 .ValueErrorr......ndim..moveaxis
3940 72 39 00 00 00 da 05 72 61 6e 67 65 72 3a 00 00 00 da 05 73 68 61 70 65 29 0b 72 3b 00 00 00 da r9.....ranger:.....shape).r;....
3960 01 6d 72 27 00 00 00 da 04 61 78 69 73 da 03 63 64 74 da 03 63 6e 74 da 05 69 61 78 69 73 da 01 .mr'.....axis..cdt..cnt..iaxis..
3980 6e 72 47 00 00 00 da 03 64 65 72 72 48 00 00 00 73 0b 00 00 00 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 nrG.....derrH...s...............
39a0 72 28 00 00 00 72 0f 00 00 00 72 0f 00 00 00 d2 01 00 00 73 4a 01 00 00 80 00 f4 64 01 00 09 0b r(...r....r........sJ......d....
39c0 8f 08 89 08 90 11 98 21 a0 24 d4 08 27 80 41 d8 07 08 87 77 81 77 87 7c 81 7c 90 7f d1 07 26 e0 .......!.$..'.A....w.w.|.|....&.
39e0 0c 0d 90 03 89 47 88 01 d8 0a 0b 8f 27 89 27 80 43 dc 0a 0c 8f 2a 89 2a 90 51 d0 18 31 d3 0a 32 .....G......'.'.C....*.*.Q..1..2
3a00 80 43 dc 0c 0e 8f 4a 89 4a 90 74 98 5a d3 0c 28 80 45 d8 07 0a 88 51 82 77 dc 0e 18 d0 19 47 d3 .C....J.J.t.Z..(.E....Q.w.....G.
3a20 0e 48 d0 08 48 dc 0c 20 a0 15 a8 01 af 06 a9 06 d3 0c 2f 80 45 e0 07 0a 88 61 82 78 d8 0f 10 88 .H..H............./.E....a.x....
3a40 08 e4 08 0a 8f 0b 89 0b 90 41 90 75 98 61 d3 08 20 80 41 dc 08 0b 88 41 8b 06 80 41 d8 07 0a 88 .........A.u.a....A....A...A....
3a60 61 82 78 d8 0c 0d 88 62 88 71 88 45 90 41 89 49 89 01 e4 11 16 90 73 93 1a f2 00 06 09 14 88 41 a.x....b.q.E.A.I......s........A
3a80 d8 10 11 90 41 91 05 88 41 d8 0c 0d 90 13 89 48 88 41 dc 12 14 97 28 91 28 98 41 98 34 a0 21 a7 ....A...A......H.A....(.(.A.4.!.
3aa0 27 a1 27 a8 21 a8 22 a0 2b d1 1b 2d b0 53 d4 12 39 88 43 dc 15 1a 98 31 98 61 a0 12 93 5f f2 00 '.'.!.".+..-.S..9.C....1.a..._..
3ac0 01 0d 26 90 01 d8 1d 1e a0 11 a0 31 a1 14 99 58 90 03 90 41 98 01 91 45 92 0a f0 03 01 0d 26 e0 ..&........1...X...A...E......&.
3ae0 10 13 89 41 f0 0d 06 09 14 f4 0e 00 09 0b 8f 0b 89 0b 90 41 90 71 98 25 d3 08 20 80 41 d8 0b 0c ...A...............A.q.%....A...
3b00 80 48 72 29 00 00 00 63 06 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 09 00 00 00 03 00 00 00 f3 60 04 00 .Hr)...c.....................`..
3b20 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...t.........j..................
3b40 00 7c 00 64 01 64 02 ac 03 ab 03 00 00 00 00 00 00 7d 00 7c 00 6a 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .|.d.d...........}.|.j..........
3b60 00 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 06 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 04 76 .........j...................d.v
3b80 00 72 05 7c 00 64 05 7a 00 00 00 7d 00 7c 00 6a 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .r.|.d.z...}.|.j................
3ba0 00 00 00 7d 06 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 08 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...}.t.........j................
3bc0 00 00 00 7c 02 ab 01 00 00 00 00 00 00 73 03 7c 02 67 01 7d 02 74 0b 00 00 00 00 00 00 00 00 6a ...|.........s.|.g.}.t.........j
3be0 0c 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 64 06 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d ...................|.d.........}
3c00 07 74 0b 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0c 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c .t.........j...................|
3c20 05 64 07 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 08 7c 07 64 08 6b 02 00 00 72 0b 74 0f 00 00 00 00 00 00 00 .d.........}.|.d.k...r.t........
3c40 00 64 09 ab 01 00 00 00 00 00 00 82 01 74 11 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 02 ab 01 00 00 00 00 00 .d...........t.........|........
3c60 00 7c 07 6b 44 00 00 72 0b 74 0f 00 00 00 00 00 00 00 00 64 0a ab 01 00 00 00 00 00 00 82 01 74 .|.kD..r.t.........d...........t
3c80 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 12 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 03 ab .........j...................|..
3ca0 01 00 00 00 00 00 00 64 08 6b 37 00 00 72 0b 74 0f 00 00 00 00 00 00 00 00 64 0b ab 01 00 00 00 .......d.k7..r.t.........d......
3cc0 00 00 00 82 01 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 12 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .....t.........j................
3ce0 00 00 00 7c 04 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 08 6b 37 00 00 72 0b 74 0f 00 00 00 00 00 00 00 00 64 ...|.........d.k7..r.t.........d
3d00 0c ab 01 00 00 00 00 00 00 82 01 74 15 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 08 7c 00 6a 12 00 00 00 00 00 ...........t.........|.|.j......
3d20 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 08 7c 07 64 08 6b 28 00 00 72 .....................}.|.d.k(..r
3d40 02 7c 00 53 00 74 17 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 02 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 08 67 01 7c 07 74 .|.S.t.........|.........d.g.|.t
3d60 11 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 02 ab 01 00 00 00 00 00 00 7a 0a 00 00 7a 05 00 00 7a 00 00 00 7d .........|.........z...z...z...}
3d80 02 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 18 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c .t.........j...................|
3da0 00 7c 08 64 08 ab 03 00 00 00 00 00 00 7d 00 74 1b 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 07 ab 01 00 00 00 .|.d.........}.t.........|......
3dc0 00 00 00 44 00 5d c2 00 00 7d 09 74 11 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d ...D.]...}.t.........|.........}
3de0 0a 7c 00 7c 04 7a 12 00 00 7d 00 7c 0a 64 01 6b 28 00 00 72 2c 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a .|.|.z...}.|.d.k(..r,t.........j
3e00 1c 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 08 19 00 00 00 64 08 6b 28 00 ...................|.d.....d.k(.
3e20 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 72 11 7c 00 64 08 78 02 78 02 19 00 00 00 7c 02 7c 09 19 00 00 00 7a .........r.|.d.x.x.....|.|.....z
3e40 0d 00 00 63 03 63 02 3c 00 00 00 8c 44 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 1e 00 00 00 00 00 00 00 ...c.c.<....Dt.........j........
3e60 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 0a 64 01 7a 00 00 00 66 01 7c 00 6a 20 00 00 00 00 00 00 00 ...........|.d.z...f.|.j........
3e80 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 01 64 0d 1a 00 7a 00 00 00 7c 06 ac 0e ab 02 00 00 00 00 00 ...........d.d...z...|..........
3ea0 00 7d 0b 7c 00 64 08 19 00 00 00 64 08 7a 05 00 00 7c 0b 64 08 3c 00 00 00 7c 00 64 08 19 00 00 .}.|.d.....d.z...|.d.<...|.d....
3ec0 00 7c 0b 64 01 3c 00 00 00 74 1b 00 00 00 00 00 00 00 00 64 01 7c 0a ab 02 00 00 00 00 00 00 44 .|.d.<...t.........d.|.........D
3ee0 00 5d 13 00 00 7d 0c 7c 00 7c 0c 19 00 00 00 7c 0c 64 01 7a 00 00 00 7a 0b 00 00 7c 0b 7c 0c 64 .]...}.|.|.....|.d.z...z...|.|.d
3f00 01 7a 00 00 00 3c 00 00 00 8c 15 04 00 7c 0b 64 08 78 02 78 02 19 00 00 00 7c 02 7c 09 19 00 00 .z...<.......|.d.x.x.....|.|....
3f20 00 74 23 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 03 7c 0b ab 02 00 00 00 00 00 00 7a 0a 00 00 7a 0d 00 00 63 .t#........|.|.........z...z...c
3f40 03 63 02 3c 00 00 00 7c 0b 7d 00 8c c4 04 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 18 00 00 00 00 00 .c.<...|.}.....t.........j......
3f60 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 08 7c 08 ab 03 00 00 00 00 00 00 7d 00 7c 00 53 .............|.d.|.........}.|.S
3f80 00 29 0f 61 8b 0b 00 00 0a 20 20 20 20 49 6e 74 65 67 72 61 74 65 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d .).a.........Integrate.a.polynom
3fa0 69 61 6c 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c ial.......Returns.the.polynomial
3fc0 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 60 63 60 20 69 6e 74 65 67 72 61 74 65 64 20 60 6d 60 .coefficients.`c`.integrated.`m`
3fe0 20 74 69 6d 65 73 20 66 72 6f 6d 0a 20 20 20 20 60 6c 62 6e 64 60 20 61 6c 6f 6e 67 20 60 61 78 .times.from.....`lbnd`.along.`ax
4000 69 73 60 2e 20 20 41 74 20 65 61 63 68 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 20 74 68 65 20 72 65 73 75 is`...At.each.iteration.the.resu
4020 6c 74 69 6e 67 20 73 65 72 69 65 73 20 69 73 0a 20 20 20 20 2a 2a 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 65 64 lting.series.is.....**multiplied
4040 2a 2a 20 62 79 20 60 73 63 6c 60 20 61 6e 64 20 61 6e 20 69 6e 74 65 67 72 61 74 69 6f 6e 20 63 **.by.`scl`.and.an.integration.c
4060 6f 6e 73 74 61 6e 74 2c 20 60 6b 60 2c 20 69 73 20 61 64 64 65 64 2e 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 onstant,.`k`,.is.added......The.
4080 73 63 61 6c 69 6e 67 20 66 61 63 74 6f 72 20 69 73 20 66 6f 72 20 75 73 65 20 69 6e 20 61 20 6c scaling.factor.is.for.use.in.a.l
40a0 69 6e 65 61 72 20 63 68 61 6e 67 65 20 6f 66 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 2e 20 20 28 22 42 75 79 inear.change.of.variable...("Buy
40c0 65 72 0a 20 20 20 20 62 65 77 61 72 65 22 3a 20 6e 6f 74 65 20 74 68 61 74 2c 20 64 65 70 65 6e er.....beware":.note.that,.depen
40e0 64 69 6e 67 20 6f 6e 20 77 68 61 74 20 6f 6e 65 20 69 73 20 64 6f 69 6e 67 2c 20 6f 6e 65 20 6d ding.on.what.one.is.doing,.one.m
4100 61 79 20 77 61 6e 74 20 60 73 63 6c 60 0a 20 20 20 20 74 6f 20 62 65 20 74 68 65 20 72 65 63 69 ay.want.`scl`.....to.be.the.reci
4120 70 72 6f 63 61 6c 20 6f 66 20 77 68 61 74 20 6f 6e 65 20 6d 69 67 68 74 20 65 78 70 65 63 74 3b procal.of.what.one.might.expect;
4140 20 66 6f 72 20 6d 6f 72 65 20 69 6e 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2c 0a 20 20 20 20 73 65 65 20 74 .for.more.information,.....see.t
4160 68 65 20 4e 6f 74 65 73 20 73 65 63 74 69 6f 6e 20 62 65 6c 6f 77 2e 29 20 54 68 65 20 61 72 67 he.Notes.section.below.).The.arg
4180 75 6d 65 6e 74 20 60 63 60 20 69 73 20 61 6e 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 0a 20 20 20 20 63 6f 65 ument.`c`.is.an.array.of.....coe
41a0 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2c 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 20 68 69 67 68 20 64 65 67 72 fficients,.from.low.to.high.degr
41c0 65 65 20 61 6c 6f 6e 67 20 65 61 63 68 20 61 78 69 73 2c 20 65 2e 67 2e 2c 20 5b 31 2c 32 2c 33 ee.along.each.axis,.e.g.,.[1,2,3
41e0 5d 0a 20 20 20 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 73 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 ].....represents.the.polynomial.
4200 60 60 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 2a 78 2a 2a 32 60 60 20 77 68 69 6c 65 20 5b 5b 31 2c 32 ``1.+.2*x.+.3*x**2``.while.[[1,2
4220 5d 2c 5b 31 2c 32 5d 5d 0a 20 20 20 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 73 20 60 60 31 20 2b 20 31 2a ],[1,2]].....represents.``1.+.1*
4240 78 20 2b 20 32 2a 79 20 2b 20 32 2a 78 2a 79 60 60 20 69 66 20 61 78 69 73 3d 30 20 69 73 20 60 x.+.2*y.+.2*x*y``.if.axis=0.is.`
4260 60 78 60 60 20 61 6e 64 20 61 78 69 73 3d 31 20 69 73 0a 20 20 20 20 60 60 79 60 60 2e 0a 0a 20 `x``.and.axis=1.is.....``y``....
4280 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 ...Parameters.....----------....
42a0 20 63 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 .c.:.array_like.........1-D.arra
42c0 79 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2c 20 6f 72 y.of.polynomial.coefficients,.or
42e0 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 20 68 69 67 68 2e 0a 20 20 20 20 6d 20 3a 20 dered.from.low.to.high......m.:.
4300 69 6e 74 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 4f 72 64 65 72 20 6f 66 20 69 int,.optional.........Order.of.i
4320 6e 74 65 67 72 61 74 69 6f 6e 2c 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 2e 20 28 44 ntegration,.must.be.positive..(D
4340 65 66 61 75 6c 74 3a 20 31 29 0a 20 20 20 20 6b 20 3a 20 7b 5b 5d 2c 20 6c 69 73 74 2c 20 73 63 efault:.1).....k.:.{[],.list,.sc
4360 61 6c 61 72 7d 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 49 6e 74 65 67 72 61 74 alar},.optional.........Integrat
4380 69 6f 6e 20 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 28 73 29 2e 20 20 54 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 6f 66 20 74 ion.constant(s)...The.value.of.t
43a0 68 65 20 66 69 72 73 74 20 69 6e 74 65 67 72 61 6c 20 61 74 20 7a 65 72 6f 0a 20 20 20 20 20 20 he.first.integral.at.zero.......
43c0 20 20 69 73 20 74 68 65 20 66 69 72 73 74 20 76 61 6c 75 65 20 69 6e 20 74 68 65 20 6c 69 73 74 ..is.the.first.value.in.the.list
43e0 2c 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 65 63 6f 6e 64 20 69 6e 74 65 67 72 ,.the.value.of.the.second.integr
4400 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 74 20 7a 65 72 6f 20 69 73 20 74 68 65 20 73 65 63 6f 6e 64 al.........at.zero.is.the.second
4420 20 76 61 6c 75 65 2c 20 65 74 63 2e 20 20 49 66 20 60 60 6b 20 3d 3d 20 5b 5d 60 60 20 28 74 68 .value,.etc...If.``k.==.[]``.(th
4440 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 29 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 6c 6c 20 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 e.default),.........all.constant
4460 73 20 61 72 65 20 73 65 74 20 74 6f 20 7a 65 72 6f 2e 20 20 49 66 20 60 60 6d 20 3d 3d 20 31 60 s.are.set.to.zero...If.``m.==.1`
4480 60 2c 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 73 63 61 6c 61 72 20 63 61 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 62 `,.a.single.scalar.can.........b
44a0 65 20 67 69 76 65 6e 20 69 6e 73 74 65 61 64 20 6f 66 20 61 20 6c 69 73 74 2e 0a 20 20 20 20 6c e.given.instead.of.a.list......l
44c0 62 6e 64 20 3a 20 73 63 61 6c 61 72 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 bnd.:.scalar,.optional.........T
44e0 68 65 20 6c 6f 77 65 72 20 62 6f 75 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 69 6e 74 65 67 72 61 6c 2e 20 he.lower.bound.of.the.integral..
4500 28 44 65 66 61 75 6c 74 3a 20 30 29 0a 20 20 20 20 73 63 6c 20 3a 20 73 63 61 6c 61 72 2c 20 6f (Default:.0).....scl.:.scalar,.o
4520 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 46 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 65 61 63 68 20 69 ptional.........Following.each.i
4540 6e 74 65 67 72 61 74 69 6f 6e 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 69 73 20 2a 6d 75 6c 74 69 70 ntegration.the.result.is.*multip
4560 6c 69 65 64 2a 20 62 79 20 60 73 63 6c 60 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 62 65 66 6f 72 65 20 74 68 lied*.by.`scl`.........before.th
4580 65 20 69 6e 74 65 67 72 61 74 69 6f 6e 20 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 20 69 73 20 61 64 64 65 64 2e e.integration.constant.is.added.
45a0 20 28 44 65 66 61 75 6c 74 3a 20 31 29 0a 20 20 20 20 61 78 69 73 20 3a 20 69 6e 74 2c 20 6f 70 .(Default:.1).....axis.:.int,.op
45c0 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 78 69 73 20 6f 76 65 72 20 77 68 69 63 68 20 74 tional.........Axis.over.which.t
45e0 68 65 20 69 6e 74 65 67 72 61 6c 20 69 73 20 74 61 6b 65 6e 2e 20 28 44 65 66 61 75 6c 74 3a 20 he.integral.is.taken..(Default:.
4600 30 29 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 0).......Returns.....-------....
4620 20 53 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 43 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 .S.:.ndarray.........Coefficient
4640 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 20 74 68 65 20 69 6e 74 65 67 72 61 6c 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 61 69 .array.of.the.integral.......Rai
4660 73 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 56 61 6c 75 65 45 72 72 6f 72 0a 20 20 ses.....------.....ValueError...
4680 20 20 20 20 20 20 49 66 20 60 60 6d 20 3c 20 31 60 60 2c 20 60 60 6c 65 6e 28 6b 29 20 3e 20 6d ......If.``m.<.1``,.``len(k).>.m
46a0 60 60 2c 20 60 60 6e 70 2e 6e 64 69 6d 28 6c 62 6e 64 29 20 21 3d 20 30 60 60 2c 20 6f 72 0a 20 ``,.``np.ndim(lbnd).!=.0``,.or..
46c0 20 20 20 20 20 20 20 60 60 6e 70 2e 6e 64 69 6d 28 73 63 6c 29 20 21 3d 20 30 60 60 2e 0a 0a 20 .......``np.ndim(scl).!=.0``....
46e0 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c ...See.Also.....--------.....pol
4700 79 64 65 72 0a 0a 20 20 20 20 4e 6f 74 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 4e 6f yder......Notes.....-----.....No
4720 74 65 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 6f 66 20 65 61 63 68 20 69 6e 74 65 67 te.that.the.result.of.each.integ
4740 72 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 2a 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 65 64 2a 20 62 79 20 60 73 63 6c 60 2e ration.is.*multiplied*.by.`scl`.
4760 20 20 57 68 79 0a 20 20 20 20 69 73 20 74 68 69 73 20 69 6d 70 6f 72 74 61 6e 74 20 74 6f 20 6e ..Why.....is.this.important.to.n
4780 6f 74 65 3f 20 20 53 61 79 20 6f 6e 65 20 69 73 20 6d 61 6b 69 6e 67 20 61 20 6c 69 6e 65 61 72 ote?..Say.one.is.making.a.linear
47a0 20 63 68 61 6e 67 65 20 6f 66 0a 20 20 20 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 20 3a 6d 61 74 68 3a 60 75 .change.of.....variable.:math:`u
47c0 20 3d 20 61 78 20 2b 20 62 60 20 69 6e 20 61 6e 20 69 6e 74 65 67 72 61 6c 20 72 65 6c 61 74 69 .=.ax.+.b`.in.an.integral.relati
47e0 76 65 20 74 6f 20 60 78 60 2e 20 54 68 65 6e 0a 20 20 20 20 3a 6d 61 74 68 3a 60 64 78 20 3d 20 ve.to.`x`..Then.....:math:`dx.=.
4800 64 75 2f 61 60 2c 20 73 6f 20 6f 6e 65 20 77 69 6c 6c 20 6e 65 65 64 20 74 6f 20 73 65 74 20 60 du/a`,.so.one.will.need.to.set.`
4820 73 63 6c 60 20 65 71 75 61 6c 20 74 6f 0a 20 20 20 20 3a 6d 61 74 68 3a 60 31 2f 61 60 20 2d 20 scl`.equal.to.....:math:`1/a`.-.
4840 70 65 72 68 61 70 73 20 6e 6f 74 20 77 68 61 74 20 6f 6e 65 20 77 6f 75 6c 64 20 68 61 76 65 20 perhaps.not.what.one.would.have.
4860 66 69 72 73 74 20 74 68 6f 75 67 68 74 2e 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 first.thought.......Examples....
4880 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c .--------.....>>>.from.numpy.pol
48a0 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 ynomial.import.polynomial.as.P..
48c0 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 20 3d 20 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 ...>>>.c.=.(1,.2,.3).....>>>.P.p
48e0 6f 6c 79 69 6e 74 28 63 29 20 20 23 20 73 68 6f 75 6c 64 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 72 72 61 79 olyint(c)..#.should.return.array
4900 28 5b 30 2c 20 31 2c 20 31 2c 20 31 5d 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 30 2e 2c 20 20 31 ([0,.1,.1,.1]).....array([0.,..1
4920 2e 2c 20 20 31 2e 2c 20 20 31 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 69 6e 74 28 .,..1.,..1.]).....>>>.P.polyint(
4940 63 2c 20 33 29 20 20 23 20 73 68 6f 75 6c 64 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 72 72 61 79 28 5b 30 2c c,.3)..#.should.return.array([0,
4960 20 30 2c 20 30 2c 20 31 2f 36 2c 20 31 2f 31 32 2c 20 31 2f 32 30 5d 29 0a 20 20 20 20 20 61 72 .0,.0,.1/6,.1/12,.1/20])......ar
4980 72 61 79 28 5b 20 30 2e 20 20 20 20 20 20 20 20 2c 20 20 30 2e 20 20 20 20 20 20 20 20 2c 20 20 ray([.0.........,..0.........,..
49a0 30 2e 20 20 20 20 20 20 20 20 2c 20 20 30 2e 31 36 36 36 36 36 36 37 2c 20 20 30 2e 30 38 33 33 0.........,..0.16666667,..0.0833
49c0 33 33 33 33 2c 20 23 20 6d 61 79 20 76 61 72 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 2e 3333,.#.may.vary..............0.
49e0 30 35 20 20 20 20 20 20 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 69 6e 74 28 63 2c 20 05......]).....>>>.P.polyint(c,.
4a00 6b 3d 33 29 20 20 23 20 73 68 6f 75 6c 64 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 72 72 61 79 28 5b 33 2c 20 k=3)..#.should.return.array([3,.
4a20 31 2c 20 31 2c 20 31 5d 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 33 2e 2c 20 20 31 2e 2c 20 20 31 1,.1,.1]).....array([3.,..1.,..1
4a40 2e 2c 20 20 31 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 69 6e 74 28 63 2c 6c 62 6e .,..1.]).....>>>.P.polyint(c,lbn
4a60 64 3d 2d 32 29 20 20 23 20 73 68 6f 75 6c 64 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 72 72 61 79 28 5b 36 2c d=-2)..#.should.return.array([6,
4a80 20 31 2c 20 31 2c 20 31 5d 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 36 2e 2c 20 20 31 2e 2c 20 20 .1,.1,.1]).....array([6.,..1.,..
4aa0 31 2e 2c 20 20 31 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 69 6e 74 28 63 2c 73 63 1.,..1.]).....>>>.P.polyint(c,sc
4ac0 6c 3d 2d 32 29 20 20 23 20 73 68 6f 75 6c 64 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 72 72 61 79 28 5b 30 2c l=-2)..#.should.return.array([0,
4ae0 20 2d 32 2c 20 2d 32 2c 20 2d 32 5d 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 30 2e 2c 20 2d 32 .-2,.-2,.-2]).....array([.0.,.-2
4b00 2e 2c 20 2d 32 2e 2c 20 2d 32 2e 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 72 20 00 00 00 54 72 4e 00 00 00 72 51 .,.-2.,.-2.])......r....TrN...rQ
4b20 00 00 00 72 52 00 00 00 7a 18 74 68 65 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 20 69 6e 74 65 67 72 61 74 69 ...rR...z.the.order.of.integrati
4b40 6f 6e 72 53 00 00 00 72 1e 00 00 00 7a 2d 54 68 65 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 20 69 6e 74 65 67 onrS...r....z-The.order.of.integ
4b60 72 61 74 69 6f 6e 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 6e 6f 6e 2d 6e 65 67 61 74 69 76 65 7a 1e 54 6f 6f ration.must.be.non-negativez.Too
4b80 20 6d 61 6e 79 20 69 6e 74 65 67 72 61 74 69 6f 6e 20 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 73 7a 16 6c 62 6e .many.integration.constantsz.lbn
4ba0 64 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 2e 7a 15 73 63 6c 20 6d 75 73 74 20 62 65 d.must.be.a.scalar.z.scl.must.be
4bc0 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 2e 4e 72 36 00 00 00 29 12 72 24 00 00 00 72 25 00 00 00 72 37 00 00 .a.scalar.Nr6...).r$...r%...r7..
4be0 00 72 54 00 00 00 da 08 69 74 65 72 61 62 6c 65 72 2b 00 00 00 72 55 00 00 00 72 56 00 00 00 72 .rT.....iterabler+...rU...rV...r
4c00 39 00 00 00 72 57 00 00 00 72 1f 00 00 00 da 04 6c 69 73 74 72 58 00 00 00 72 59 00 00 00 da 03 9...rW...r......listrX...rY.....
4c20 61 6c 6c 72 3a 00 00 00 72 5a 00 00 00 72 0d 00 00 00 29 0d 72 3b 00 00 00 72 5b 00 00 00 da 01 allr:...rZ...r....).r;...r[.....
4c40 6b da 04 6c 62 6e 64 72 27 00 00 00 72 5c 00 00 00 72 5d 00 00 00 72 5e 00 00 00 72 5f 00 00 00 k..lbndr'...r\...r]...r^...r_...
4c60 72 47 00 00 00 72 60 00 00 00 da 03 74 6d 70 72 48 00 00 00 73 0d 00 00 00 20 20 20 20 20 20 20 rG...r`.....tmprH...s...........
4c80 20 20 20 20 20 20 72 28 00 00 00 72 10 00 00 00 72 10 00 00 00 22 02 00 00 73 16 02 00 00 80 00 ......r(...r....r...."...s......
4ca0 f4 58 02 00 09 0b 8f 08 89 08 90 11 98 21 a0 24 d4 08 27 80 41 d8 07 08 87 77 81 77 87 7c 81 7c .X...........!.$..'.A....w.w.|.|
4cc0 90 7f d1 07 26 e0 0c 0d 90 03 89 47 88 01 d8 0a 0b 8f 27 89 27 80 43 dc 0b 0d 8f 3b 89 3b 90 71 ....&......G......'.'.C....;.;.q
4ce0 8c 3e d8 0d 0e 88 43 88 01 dc 0a 0c 8f 2a 89 2a 90 51 d0 18 32 d3 0a 33 80 43 dc 0c 0e 8f 4a 89 .>....C......*.*.Q..2..3.C....J.
4d00 4a 90 74 98 5a d3 0c 28 80 45 d8 07 0a 88 51 82 77 dc 0e 18 d0 19 48 d3 0e 49 d0 08 49 dc 07 0a J.t.Z..(.E....Q.w.....H..I..I...
4d20 88 31 83 76 90 03 82 7c dc 0e 18 d0 19 39 d3 0e 3a d0 08 3a dc 07 09 87 77 81 77 88 74 83 7d 98 .1.v...|.....9..:..:....w.w.t.}.
4d40 01 d2 07 19 dc 0e 18 d0 19 31 d3 0e 32 d0 08 32 dc 07 09 87 77 81 77 88 73 83 7c 90 71 d2 07 18 .........1..2..2....w.w.s.|.q...
4d60 dc 0e 18 d0 19 30 d3 0e 31 d0 08 31 dc 0c 20 a0 15 a8 01 af 06 a9 06 d3 0c 2f 80 45 e0 07 0a 88 .....0..1..1............./.E....
4d80 61 82 78 d8 0f 10 88 08 e4 08 0c 88 51 8b 07 90 31 90 23 98 13 9c 73 a0 31 9b 76 99 1c d1 12 26 a.x.........Q...1.#...s.1.v....&
4da0 d1 08 26 80 41 dc 08 0a 8f 0b 89 0b 90 41 90 75 98 61 d3 08 20 80 41 dc 0d 12 90 33 8b 5a f2 00 ..&.A........A.u.a....A....3.Z..
4dc0 0c 05 14 88 01 dc 0c 0f 90 01 8b 46 88 01 d8 08 09 88 53 89 08 88 01 d8 0b 0c 90 01 8a 36 94 62 ...........F......S..........6.b
4de0 97 66 91 66 98 51 98 71 99 54 a0 51 99 59 d4 16 27 d8 0c 0d 88 61 8b 44 90 41 90 61 91 44 89 4c .f.f.Q.q.T.Q.Y..'....a.D.A.a.D.L
4e00 8c 44 e4 12 14 97 28 91 28 98 41 a0 01 99 45 98 38 a0 61 a7 67 a1 67 a8 61 a8 62 a0 6b d1 1b 31 .D....(.(.A...E.8.a.g.g.a.b.k..1
4e20 b8 13 d4 12 3d 88 43 d8 15 16 90 71 91 54 98 41 91 58 88 43 90 01 89 46 d8 15 16 90 71 91 54 88 ....=.C....q.T.A.X.C...F....q.T.
4e40 43 90 01 89 46 dc 15 1a 98 31 98 61 93 5b f2 00 01 0d 2c 90 01 d8 1d 1e 98 71 99 54 a0 51 a8 11 C...F....1.a.[....,......q.T.Q..
4e60 a1 55 99 5e 90 03 90 41 98 01 91 45 92 0a f0 03 01 0d 2c e0 0c 0f 90 01 8b 46 90 61 98 01 91 64 .U.^...A...E......,......F.a...d
4e80 9c 57 a0 54 a8 33 d3 1d 2f d1 16 2f d1 0c 2f 8b 46 d8 10 13 89 41 f0 19 0c 05 14 f4 1a 00 09 0b .W.T.3../../../.F....A..........
4ea0 8f 0b 89 0b 90 41 90 71 98 25 d3 08 20 80 41 d8 0b 0c 80 48 72 29 00 00 00 63 03 00 00 00 00 00 .....A.q.%....A....Hr)...c......
4ec0 00 00 00 00 00 00 06 00 00 00 03 00 00 00 f3 bc 01 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a .....................t.........j
4ee0 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 64 01 64 02 ac 03 ab 03 00 00 00 ...................|.d.d........
4f00 00 00 00 7d 01 7c 01 6a 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 06 00 00 00 ...}.|.j...................j....
4f20 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 04 76 00 72 05 7c 01 64 05 7a 00 00 00 7d 01 74 ...............d.v.r.|.d.z...}.t
4f40 09 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 74 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 74 0c 00 00 00 00 00 00 00 00 66 .........|.t.........t.........f
4f60 02 ab 02 00 00 00 00 00 00 72 15 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0e 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .........r.t.........j..........
4f80 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 00 74 09 00 00 00 00 00 00 00 00 7c .........|.........}.t.........|
4fa0 00 74 00 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ab .t.........j....................
4fc0 02 00 00 00 00 00 00 72 2d 7c 02 72 2b 7c 01 6a 13 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .......r-|.r+|.j................
4fe0 00 00 00 7c 01 6a 14 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 06 7c 00 6a 16 00 ...|.j...................d.|.j..
5000 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7a 05 00 00 7a 00 00 00 ab 01 00 00 00 00 00 .................z...z..........
5020 00 7d 01 7c 01 64 07 19 00 00 00 7c 00 64 08 7a 05 00 00 7a 00 00 00 7d 03 74 19 00 00 00 00 00 .}.|.d.....|.d.z...z...}.t......
5040 00 00 00 64 09 74 1b 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 01 7a 00 00 00 ab ...d.t.........|.........d.z....
5060 02 00 00 00 00 00 00 44 00 5d 0e 00 00 7d 04 7c 01 7c 04 0b 00 19 00 00 00 7c 03 7c 00 7a 05 00 .......D.]...}.|.|.......|.|.z..
5080 00 7a 00 00 00 7d 03 8c 10 04 00 7c 03 53 00 29 0a 61 58 0b 00 00 0a 20 20 20 20 45 76 61 6c 75 .z...}.....|.S.).aX........Evalu
50a0 61 74 65 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 74 20 70 6f 69 6e 74 73 20 78 2e 0a 0a 20 ate.a.polynomial.at.points.x....
50c0 20 20 20 49 66 20 60 63 60 20 69 73 20 6f 66 20 6c 65 6e 67 74 68 20 60 60 6e 20 2b 20 31 60 60 ...If.`c`.is.of.length.``n.+.1``
50e0 2c 20 74 68 69 73 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 72 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 ,.this.function.returns.the.valu
5100 65 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 78 29 20 3d 20 63 5f 30 20 2b 20 63 5f e.........math::.p(x).=.c_0.+.c_
5120 31 20 2a 20 78 20 2b 20 2e 2e 2e 20 2b 20 63 5f 6e 20 2a 20 78 5e 6e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 1.*.x.+.....+.c_n.*.x^n......The
5140 20 70 61 72 61 6d 65 74 65 72 20 60 78 60 20 69 73 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 .parameter.`x`.is.converted.to.a
5160 6e 20 61 72 72 61 79 20 6f 6e 6c 79 20 69 66 20 69 74 20 69 73 20 61 20 74 75 70 6c 65 20 6f 72 n.array.only.if.it.is.a.tuple.or
5180 20 61 0a 20 20 20 20 6c 69 73 74 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 20 74 72 65 .a.....list,.otherwise.it.is.tre
51a0 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 2e 20 49 6e 20 65 69 74 68 65 72 20 63 61 73 65 ated.as.a.scalar..In.either.case
51c0 2c 20 65 69 74 68 65 72 20 60 78 60 0a 20 20 20 20 6f 72 20 69 74 73 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 ,.either.`x`.....or.its.elements
51e0 20 6d 75 73 74 20 73 75 70 70 6f 72 74 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 61 6e 64 .must.support.multiplication.and
5200 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 20 62 6f 74 68 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 74 68 65 6d 73 65 6c 76 .addition.both.with.....themselv
5220 65 73 20 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 20 60 63 60 2e es.and.with.the.elements.of.`c`.
5240 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 63 60 20 69 73 20 61 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 2c 20 74 68 65 ......If.`c`.is.a.1-D.array,.the
5260 6e 20 60 60 70 28 78 29 60 60 20 77 69 6c 6c 20 68 61 76 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 73 68 n.``p(x)``.will.have.the.same.sh
5280 61 70 65 20 61 73 20 60 78 60 2e 20 20 49 66 0a 20 20 20 20 60 63 60 20 69 73 20 6d 75 6c 74 69 ape.as.`x`...If.....`c`.is.multi
52a0 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 2c 20 74 68 65 6e 20 74 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 dimensional,.then.the.shape.of.t
52c0 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 64 65 70 65 6e 64 73 20 6f 6e 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 76 61 6c he.result.depends.on.the.....val
52e0 75 65 20 6f 66 20 60 74 65 6e 73 6f 72 60 2e 20 49 66 20 60 74 65 6e 73 6f 72 60 20 69 73 20 74 ue.of.`tensor`..If.`tensor`.is.t
5300 72 75 65 20 74 68 65 20 73 68 61 70 65 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 63 2e 73 68 61 70 65 5b 31 3a rue.the.shape.will.be.c.shape[1:
5320 5d 20 2b 0a 20 20 20 20 78 2e 73 68 61 70 65 2e 20 49 66 20 60 74 65 6e 73 6f 72 60 20 69 73 20 ].+.....x.shape..If.`tensor`.is.
5340 66 61 6c 73 65 20 74 68 65 20 73 68 61 70 65 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 63 2e 73 68 61 70 65 5b false.the.shape.will.be.c.shape[
5360 31 3a 5d 2e 20 4e 6f 74 65 20 74 68 61 74 0a 20 20 20 20 73 63 61 6c 61 72 73 20 68 61 76 65 20 1:]..Note.that.....scalars.have.
5380 73 68 61 70 65 20 28 2c 29 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 72 61 69 6c 69 6e 67 20 7a 65 72 6f 73 20 69 shape.(,).......Trailing.zeros.i
53a0 6e 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 75 73 65 64 20 n.the.coefficients.will.be.used.
53c0 69 6e 20 74 68 65 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 6f 6e 2c 20 73 6f 0a 20 20 20 20 74 68 65 79 20 73 in.the.evaluation,.so.....they.s
53e0 68 6f 75 6c 64 20 62 65 20 61 76 6f 69 64 65 64 20 69 66 20 65 66 66 69 63 69 65 6e 63 79 20 69 hould.be.avoided.if.efficiency.i
5400 73 20 61 20 63 6f 6e 63 65 72 6e 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 s.a.concern.......Parameters....
5420 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 .----------.....x.:.array_like,.
5440 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 49 66 20 60 78 60 compatible.object.........If.`x`
5460 20 69 73 20 61 20 6c 69 73 74 20 6f 72 20 74 75 70 6c 65 2c 20 69 74 20 69 73 20 63 6f 6e 76 65 .is.a.list.or.tuple,.it.is.conve
5480 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 0a 20 20 rted.to.an.ndarray,.otherwise...
54a0 20 20 20 20 20 20 69 74 20 69 73 20 6c 65 66 74 20 75 6e 63 68 61 6e 67 65 64 20 61 6e 64 20 74 ......it.is.left.unchanged.and.t
54c0 72 65 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 2e 20 49 6e 20 65 69 74 68 65 72 20 63 61 reated.as.a.scalar..In.either.ca
54e0 73 65 2c 20 60 78 60 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6f 72 20 69 74 73 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 se,.`x`.........or.its.elements.
5500 6d 75 73 74 20 73 75 70 70 6f 72 74 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 20 61 6e 64 20 6d 75 6c 74 69 70 must.support.addition.and.multip
5520 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 77 69 74 68 20 74 68 65 6d 73 lication.with.........with.thems
5540 65 6c 76 65 73 20 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 20 60 elves.and.with.the.elements.of.`
5560 63 60 2e 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 c`......c.:.array_like.........A
5580 72 72 61 79 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 73 6f 20 rray.of.coefficients.ordered.so.
55a0 74 68 61 74 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 66 6f 72 20 74 65 72 6d 73 20 that.the.coefficients.for.terms.
55c0 6f 66 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 65 67 72 65 65 20 6e 20 61 72 65 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 65 of.........degree.n.are.containe
55e0 64 20 69 6e 20 63 5b 6e 5d 2e 20 49 66 20 60 63 60 20 69 73 20 6d 75 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 d.in.c[n]..If.`c`.is.multidimens
5600 69 6f 6e 61 6c 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 72 65 6d 61 69 6e 69 6e 67 20 69 6e 64 69 ional.the.........remaining.indi
5620 63 65 73 20 65 6e 75 6d 65 72 61 74 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 ces.enumerate.multiple.polynomia
5640 6c 73 2e 20 49 6e 20 74 68 65 20 74 77 6f 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e ls..In.the.two.........dimension
5660 61 6c 20 63 61 73 65 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6d 61 79 20 62 65 20 al.case.the.coefficients.may.be.
5680 74 68 6f 75 67 68 74 20 6f 66 20 61 73 20 73 74 6f 72 65 64 20 69 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 thought.of.as.stored.in.........
56a0 74 68 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 60 63 60 2e 0a 20 20 20 20 74 65 6e 73 6f 72 20 3a the.columns.of.`c`......tensor.:
56c0 20 62 6f 6f 6c 65 61 6e 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 49 66 20 54 72 .boolean,.optional.........If.Tr
56e0 75 65 2c 20 74 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 ue,.the.shape.of.the.coefficient
5700 20 61 72 72 61 79 20 69 73 20 65 78 74 65 6e 64 65 64 20 77 69 74 68 20 6f 6e 65 73 0a 20 20 20 .array.is.extended.with.ones....
5720 20 20 20 20 20 6f 6e 20 74 68 65 20 72 69 67 68 74 2c 20 6f 6e 65 20 66 6f 72 20 65 61 63 68 20 .....on.the.right,.one.for.each.
5740 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 20 6f 66 20 60 78 60 2e 20 53 63 61 6c 61 72 73 20 68 61 76 65 20 64 dimension.of.`x`..Scalars.have.d
5760 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 20 30 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 66 6f 72 20 74 68 69 73 20 61 63 74 69 imension.0.........for.this.acti
5780 6f 6e 2e 20 54 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 69 73 20 74 68 61 74 20 65 76 65 72 79 20 63 6f 6c on..The.result.is.that.every.col
57a0 75 6d 6e 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 69 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 60 umn.of.coefficients.in.........`
57c0 63 60 20 69 73 20 65 76 61 6c 75 61 74 65 64 20 66 6f 72 20 65 76 65 72 79 20 65 6c 65 6d 65 6e c`.is.evaluated.for.every.elemen
57e0 74 20 6f 66 20 60 78 60 2e 20 49 66 20 46 61 6c 73 65 2c 20 60 78 60 20 69 73 20 62 72 6f 61 64 t.of.`x`..If.False,.`x`.is.broad
5800 63 61 73 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6f 76 65 72 20 74 68 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 6f 66 cast.........over.the.columns.of
5820 20 60 63 60 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 6f 6e 2e 20 20 54 68 69 73 20 6b .`c`.for.the.evaluation...This.k
5840 65 79 77 6f 72 64 20 69 73 20 75 73 65 66 75 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 77 68 65 6e 20 60 63 eyword.is.useful.........when.`c
5860 60 20 69 73 20 6d 75 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 2e 20 54 68 65 20 64 65 66 61 75 `.is.multidimensional..The.defau
5880 6c 74 20 76 61 6c 75 65 20 69 73 20 54 72 75 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 lt.value.is.True.......Returns..
58a0 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c ...-------.....values.:.ndarray,
58c0 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 73 .compatible.object.........The.s
58e0 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 61 72 72 61 79 20 69 73 20 64 65 hape.of.the.returned.array.is.de
5900 73 63 72 69 62 65 64 20 61 62 6f 76 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 scribed.above.......See.Also....
5920 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 67 72 69 .--------.....polyval2d,.polygri
5940 64 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 2c 20 70 6f 6c 79 67 72 69 64 33 64 0a 0a 20 20 20 20 d2d,.polyval3d,.polygrid3d......
5960 4e 6f 74 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 Notes.....-----.....The.evaluati
5980 6f 6e 20 75 73 65 73 20 48 6f 72 6e 65 72 27 73 20 6d 65 74 68 6f 64 2e 0a 0a 20 20 20 20 45 78 on.uses.Horner's.method.......Ex
59a0 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 69 6d 70 6f amples.....--------.....>>>.impo
59c0 72 74 20 6e 75 6d 70 79 20 61 73 20 6e 70 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 rt.numpy.as.np.....>>>.from.nump
59e0 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 y.polynomial.polynomial.import.p
5a00 6f 6c 79 76 61 6c 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 28 31 2c 20 5b 31 2c 32 2c 33 olyval.....>>>.polyval(1,.[1,2,3
5a20 5d 29 0a 20 20 20 20 36 2e 30 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 61 20 3d 20 6e 70 2e 61 72 61 6e 67 65 ]).....6.0.....>>>.a.=.np.arange
5a40 28 34 29 2e 72 65 73 68 61 70 65 28 32 2c 32 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 61 0a 20 20 20 20 61 (4).reshape(2,2).....>>>.a.....a
5a60 72 72 61 79 28 5b 5b 30 2c 20 31 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 32 2c 20 33 5d 5d rray([[0,.1],............[2,.3]]
5a80 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 28 61 2c 20 5b 31 2c 20 32 2c 20 33 5d 29 0a ).....>>>.polyval(a,.[1,.2,.3]).
5aa0 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 20 31 2e 2c 20 20 20 36 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 ....array([[.1.,...6.],.........
5ac0 20 20 20 5b 31 37 2e 2c 20 20 33 34 2e 5d 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 6f 65 66 20 3d 20 ...[17.,..34.]]).....>>>.coef.=.
5ae0 6e 70 2e 61 72 61 6e 67 65 28 34 29 2e 72 65 73 68 61 70 65 28 32 2c 20 32 29 20 20 23 20 6d 75 np.arange(4).reshape(2,.2)..#.mu
5b00 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 0a 20 20 20 20 ltidimensional.coefficients.....
5b20 3e 3e 3e 20 63 6f 65 66 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 30 2c 20 31 5d 2c 0a 20 20 20 20 >>>.coef.....array([[0,.1],.....
5b40 20 20 20 20 20 20 20 5b 32 2c 20 33 5d 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 28 .......[2,.3]]).....>>>.polyval(
5b60 5b 31 2c 20 32 5d 2c 20 63 6f 65 66 2c 20 74 65 6e 73 6f 72 3d 54 72 75 65 29 0a 20 20 20 20 61 [1,.2],.coef,.tensor=True).....a
5b80 72 72 61 79 28 5b 5b 32 2e 2c 20 20 34 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 34 2e 2c rray([[2.,..4.],............[4.,
5ba0 20 20 37 2e 5d 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 28 5b 31 2c 20 32 5d 2c 20 ..7.]]).....>>>.polyval([1,.2],.
5bc0 63 6f 65 66 2c 20 74 65 6e 73 6f 72 3d 46 61 6c 73 65 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 32 coef,.tensor=False).....array([2
5be0 2e 2c 20 20 37 2e 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 72 20 00 00 00 4e 72 4e 00 00 00 72 51 00 00 00 72 52 .,..7.])......r....NrN...rQ...rR
5c00 00 00 00 a9 01 72 20 00 00 00 72 42 00 00 00 72 1e 00 00 00 e9 02 00 00 00 29 0e 72 24 00 00 00 .....r....rB...r.........).r$...
5c20 72 25 00 00 00 72 37 00 00 00 72 54 00 00 00 da 0a 69 73 69 6e 73 74 61 6e 63 65 da 05 74 75 70 r%...r7...rT.....isinstance..tup
5c40 6c 65 72 64 00 00 00 da 07 61 73 61 72 72 61 79 da 07 6e 64 61 72 72 61 79 da 07 72 65 73 68 61 lerd.....asarray..ndarray..resha
5c60 70 65 72 5a 00 00 00 72 57 00 00 00 72 59 00 00 00 72 39 00 00 00 29 05 da 01 78 72 3b 00 00 00 perZ...rW...rY...r9...)...xr;...
5c80 da 06 74 65 6e 73 6f 72 da 02 63 30 72 47 00 00 00 73 05 00 00 00 20 20 20 20 20 72 28 00 00 00 ..tensor..c0rG...s.........r(...
5ca0 72 0d 00 00 00 72 0d 00 00 00 97 02 00 00 73 c1 00 00 00 80 00 f4 60 02 00 09 0b 8f 08 89 08 90 r....r........s.......`.........
5cc0 11 98 21 a0 24 d4 08 27 80 41 d8 07 08 87 77 81 77 87 7c 81 7c 90 7f d1 07 26 e0 0c 0d 90 03 89 ..!.$..'.A....w.w.|.|....&......
5ce0 47 88 01 dc 07 11 90 21 94 65 9c 54 90 5d d4 07 23 dc 0c 0e 8f 4a 89 4a 90 71 8b 4d 88 01 dc 07 G......!.e.T.]..#....J.J.q.M....
5d00 11 90 21 94 52 97 5a 91 5a d4 07 20 a1 56 d8 0c 0d 8f 49 89 49 90 61 97 67 91 67 a0 04 a0 71 a7 ..!.R.Z.Z....V....I.I.a.g.g...q.
5d20 76 a1 76 a1 0d d1 16 2d d3 0c 2e 88 01 e0 09 0a 88 32 89 15 90 11 90 51 91 15 89 1d 80 42 dc 0d v.v....-.........2.....Q.....B..
5d40 12 90 31 94 63 98 21 93 66 98 71 91 6a d3 0d 21 f2 00 01 05 1c 88 01 d8 0d 0e 90 01 88 72 89 55 ..1.c.!.f.q.j..!.............r.U
5d60 90 52 98 21 91 56 89 5e 89 02 f0 03 01 05 1c e0 0b 0d 80 49 72 29 00 00 00 63 03 00 00 00 00 00 .R.!.V.^...........Ir)...c......
5d80 00 00 00 00 00 00 05 00 00 00 03 00 00 00 f3 02 02 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a .....................t.........j
5da0 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 64 01 64 02 ac 03 ab 03 00 00 00 ...................|.d.d........
5dc0 00 00 00 7d 01 7c 01 6a 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 06 00 00 00 ...}.|.j...................j....
5de0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 04 76 00 72 1f 7c 01 6a 09 00 00 00 00 00 00 00 ...............d.v.r.|.j........
5e00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 74 00 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...........t.........j..........
5e20 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 01 74 0d 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 74 .................}.t.........|.t
5e40 0e 00 00 00 00 00 00 00 00 74 10 00 00 00 00 00 00 00 00 66 02 ab 02 00 00 00 00 00 00 72 15 74 .........t.........f.........r.t
5e60 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 12 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab .........j...................|..
5e80 01 00 00 00 00 00 00 7d 00 74 0d 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 74 00 00 00 00 00 00 00 00 00 6a .......}.t.........|.t.........j
5ea0 14 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ab 02 00 00 00 00 00 00 72 52 7c 02 72 ...........................rR|.r
5ec0 2c 7c 01 6a 17 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 6a 18 00 00 00 00 00 ,|.j...................|.j......
5ee0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 64 05 7c 00 6a 1a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .............d.|.j..............
5f00 00 00 00 00 00 7a 05 00 00 7a 00 00 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 01 6e 24 7c 00 6a 1a 00 00 00 .....z...z...........}.n$|.j....
5f20 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 6a 1a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...............|.j..............
5f40 00 00 00 00 00 6b 5c 00 00 72 0b 74 1d 00 00 00 00 00 00 00 00 64 06 ab 01 00 00 00 00 00 00 82 .....k\..r.t.........d..........
5f60 01 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 1e 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c .t.........j...................|
5f80 00 7c 01 7a 0a 00 00 64 07 ac 08 ab 02 00 00 00 00 00 00 53 00 29 09 61 69 0b 00 00 0a 20 20 20 .|.z...d...........S.).ai.......
5fa0 20 45 76 61 6c 75 61 74 65 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 73 70 65 63 69 66 69 65 64 .Evaluate.a.polynomial.specified
5fc0 20 62 79 20 69 74 73 20 72 6f 6f 74 73 20 61 74 20 70 6f 69 6e 74 73 20 78 2e 0a 0a 20 20 20 20 .by.its.roots.at.points.x.......
5fe0 49 66 20 60 72 60 20 69 73 20 6f 66 20 6c 65 6e 67 74 68 20 60 60 4e 60 60 2c 20 74 68 69 73 20 If.`r`.is.of.length.``N``,.this.
6000 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 72 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 0a 0a 20 20 20 20 function.returns.the.value......
6020 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 78 29 20 3d 20 5c 70 72 6f 64 5f 7b 6e 3d 31 7d 5e 7b 4e 7d ...math::.p(x).=.\prod_{n=1}^{N}
6040 20 28 78 20 2d 20 72 5f 6e 29 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 70 61 72 61 6d 65 74 65 72 20 60 78 .(x.-.r_n)......The.parameter.`x
6060 60 20 69 73 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 6e 20 61 72 72 61 79 20 6f 6e 6c 79 20 `.is.converted.to.an.array.only.
6080 69 66 20 69 74 20 69 73 20 61 20 74 75 70 6c 65 20 6f 72 20 61 0a 20 20 20 20 6c 69 73 74 2c 20 if.it.is.a.tuple.or.a.....list,.
60a0 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 20 74 72 65 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 otherwise.it.is.treated.as.a.sca
60c0 6c 61 72 2e 20 49 6e 20 65 69 74 68 65 72 20 63 61 73 65 2c 20 65 69 74 68 65 72 20 60 78 60 0a lar..In.either.case,.either.`x`.
60e0 20 20 20 20 6f 72 20 69 74 73 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6d 75 73 74 20 73 75 70 70 6f 72 74 ....or.its.elements.must.support
6100 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 20 62 6f 74 .multiplication.and.addition.bot
6120 68 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 74 68 65 6d 73 65 6c 76 65 73 20 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 74 h.with.....themselves.and.with.t
6140 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 20 60 72 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 72 60 20 he.elements.of.`r`.......If.`r`.
6160 69 73 20 61 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 2c 20 74 68 65 6e 20 60 60 70 28 78 29 60 60 20 77 69 is.a.1-D.array,.then.``p(x)``.wi
6180 6c 6c 20 68 61 76 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 73 68 61 70 65 20 61 73 20 60 78 60 2e 20 20 ll.have.the.same.shape.as.`x`...
61a0 49 66 20 60 72 60 0a 20 20 20 20 69 73 20 6d 75 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 2c 20 If.`r`.....is.multidimensional,.
61c0 74 68 65 6e 20 74 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 64 65 70 then.the.shape.of.the.result.dep
61e0 65 6e 64 73 20 6f 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 6f 66 0a 20 20 20 20 60 74 65 6e 73 6f 72 ends.on.the.value.of.....`tensor
6200 60 2e 20 49 66 20 60 74 65 6e 73 6f 72 60 20 69 73 20 60 60 54 72 75 65 60 60 20 74 68 65 20 73 `..If.`tensor`.is.``True``.the.s
6220 68 61 70 65 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 72 2e 73 68 61 70 65 5b 31 3a 5d 20 2b 20 78 2e 73 68 61 hape.will.be.r.shape[1:].+.x.sha
6240 70 65 3b 0a 20 20 20 20 74 68 61 74 20 69 73 2c 20 65 61 63 68 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c pe;.....that.is,.each.polynomial
6260 20 69 73 20 65 76 61 6c 75 61 74 65 64 20 61 74 20 65 76 65 72 79 20 76 61 6c 75 65 20 6f 66 20 .is.evaluated.at.every.value.of.
6280 60 78 60 2e 20 49 66 20 60 74 65 6e 73 6f 72 60 20 69 73 0a 20 20 20 20 60 60 46 61 6c 73 65 60 `x`..If.`tensor`.is.....``False`
62a0 60 2c 20 74 68 65 20 73 68 61 70 65 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 72 2e 73 68 61 70 65 5b 31 3a 5d `,.the.shape.will.be.r.shape[1:]
62c0 3b 20 74 68 61 74 20 69 73 2c 20 65 61 63 68 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 73 0a 20 20 ;.that.is,.each.polynomial.is...
62e0 20 20 65 76 61 6c 75 61 74 65 64 20 6f 6e 6c 79 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 63 6f 72 72 65 73 70 ..evaluated.only.for.the.corresp
6300 6f 6e 64 69 6e 67 20 62 72 6f 61 64 63 61 73 74 20 76 61 6c 75 65 20 6f 66 20 60 78 60 2e 20 4e onding.broadcast.value.of.`x`..N
6320 6f 74 65 20 74 68 61 74 0a 20 20 20 20 73 63 61 6c 61 72 73 20 68 61 76 65 20 73 68 61 70 65 20 ote.that.....scalars.have.shape.
6340 28 2c 29 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d (,).......Parameters.....-------
6360 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 ---.....x.:.array_like,.compatib
6380 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 49 66 20 60 78 60 20 69 73 20 61 20 6c 69 le.object.........If.`x`.is.a.li
63a0 73 74 20 6f 72 20 74 75 70 6c 65 2c 20 69 74 20 69 73 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 st.or.tuple,.it.is.converted.to.
63c0 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 69 74 an.ndarray,.otherwise.........it
63e0 20 69 73 20 6c 65 66 74 20 75 6e 63 68 61 6e 67 65 64 20 61 6e 64 20 74 72 65 61 74 65 64 20 61 .is.left.unchanged.and.treated.a
6400 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 2e 20 49 6e 20 65 69 74 68 65 72 20 63 61 73 65 2c 20 60 78 60 0a s.a.scalar..In.either.case,.`x`.
6420 20 20 20 20 20 20 20 20 6f 72 20 69 74 73 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6d 75 73 74 20 73 75 70 ........or.its.elements.must.sup
6440 70 6f 72 74 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 20 61 6e 64 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e port.addition.and.multiplication
6460 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 77 69 74 68 20 74 68 65 6d 73 65 6c 76 65 73 20 61 6e .with.........with.themselves.an
6480 64 20 77 69 74 68 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 20 60 72 60 2e 0a 20 20 20 20 d.with.the.elements.of.`r`......
64a0 72 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 61 79 20 6f 66 20 r.:.array_like.........Array.of.
64c0 72 6f 6f 74 73 2e 20 49 66 20 60 72 60 20 69 73 20 6d 75 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 roots..If.`r`.is.multidimensiona
64e0 6c 20 74 68 65 20 66 69 72 73 74 20 69 6e 64 65 78 20 69 73 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 l.the.first.index.is.the........
6500 20 72 6f 6f 74 20 69 6e 64 65 78 2c 20 77 68 69 6c 65 20 74 68 65 20 72 65 6d 61 69 6e 69 6e 67 .root.index,.while.the.remaining
6520 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 65 6e 75 6d 65 72 61 74 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 0a 20 20 20 20 .indices.enumerate.multiple.....
6540 20 20 20 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 2e 20 46 6f 72 20 69 6e 73 74 61 6e 63 65 2c 20 69 ....polynomials..For.instance,.i
6560 6e 20 74 68 65 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 63 61 73 65 20 74 68 65 20 72 n.the.two.dimensional.case.the.r
6580 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6f 66 20 65 61 63 68 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 oots.........of.each.polynomial.
65a0 6d 61 79 20 62 65 20 74 68 6f 75 67 68 74 20 6f 66 20 61 73 20 73 74 6f 72 65 64 20 69 6e 20 74 may.be.thought.of.as.stored.in.t
65c0 68 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 60 72 60 2e 0a 20 20 20 20 74 65 6e 73 6f 72 20 3a 20 he.columns.of.`r`......tensor.:.
65e0 62 6f 6f 6c 65 61 6e 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 49 66 20 54 72 75 boolean,.optional.........If.Tru
6600 65 2c 20 74 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 6f 6f 74 73 20 61 72 72 61 79 20 e,.the.shape.of.the.roots.array.
6620 69 73 20 65 78 74 65 6e 64 65 64 20 77 69 74 68 20 6f 6e 65 73 20 6f 6e 20 74 68 65 0a 20 20 20 is.extended.with.ones.on.the....
6640 20 20 20 20 20 72 69 67 68 74 2c 20 6f 6e 65 20 66 6f 72 20 65 61 63 68 20 64 69 6d 65 6e 73 69 .....right,.one.for.each.dimensi
6660 6f 6e 20 6f 66 20 60 78 60 2e 20 53 63 61 6c 61 72 73 20 68 61 76 65 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f on.of.`x`..Scalars.have.dimensio
6680 6e 20 30 20 66 6f 72 20 74 68 69 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 63 74 69 6f 6e 2e 20 54 68 65 n.0.for.this.........action..The
66a0 20 72 65 73 75 6c 74 20 69 73 20 74 68 61 74 20 65 76 65 72 79 20 63 6f 6c 75 6d 6e 20 6f 66 20 .result.is.that.every.column.of.
66c0 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 69 6e 20 60 72 60 20 69 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 65 coefficients.in.`r`.is.........e
66e0 76 61 6c 75 61 74 65 64 20 66 6f 72 20 65 76 65 72 79 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 20 6f 66 20 60 78 valuated.for.every.element.of.`x
6700 60 2e 20 49 66 20 46 61 6c 73 65 2c 20 60 78 60 20 69 73 20 62 72 6f 61 64 63 61 73 74 20 6f 76 `..If.False,.`x`.is.broadcast.ov
6720 65 72 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 60 72 60 20 66 6f er.the.........columns.of.`r`.fo
6740 72 20 74 68 65 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 6f 6e 2e 20 20 54 68 69 73 20 6b 65 79 77 6f 72 64 20 r.the.evaluation...This.keyword.
6760 69 73 20 75 73 65 66 75 6c 20 77 68 65 6e 20 60 72 60 20 69 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6d 75 is.useful.when.`r`.is.........mu
6780 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 2e 20 54 68 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 20 76 61 6c 75 ltidimensional..The.default.valu
67a0 65 20 69 73 20 54 72 75 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d e.is.True.......Returns.....----
67c0 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 ---.....values.:.ndarray,.compat
67e0 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 ible.object.........The.shape.of
6800 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 61 72 72 61 79 20 69 73 20 64 65 73 63 72 69 62 65 64 .the.returned.array.is.described
6820 20 61 62 6f 76 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d .above.......See.Also.....------
6840 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 72 6f 6f 74 73 2c 20 70 6f 6c 79 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 2c --.....polyroots,.polyfromroots,
6860 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d .polyval......Examples.....-----
6880 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 ---.....>>>.from.numpy.polynomia
68a0 6c 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 66 72 6f 6d 72 l.polynomial.import.polyvalfromr
68c0 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 31 2c oots.....>>>.polyvalfromroots(1,
68e0 20 5b 31 2c 20 32 2c 20 33 5d 29 0a 20 20 20 20 30 2e 30 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 61 20 3d 20 .[1,.2,.3]).....0.0.....>>>.a.=.
6900 6e 70 2e 61 72 61 6e 67 65 28 34 29 2e 72 65 73 68 61 70 65 28 32 2c 20 32 29 0a 20 20 20 20 3e np.arange(4).reshape(2,.2).....>
6920 3e 3e 20 61 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 30 2c 20 31 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 >>.a.....array([[0,.1],.........
6940 20 20 20 5b 32 2c 20 33 5d 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 66 72 6f 6d 72 ...[2,.3]]).....>>>.polyvalfromr
6960 6f 6f 74 73 28 61 2c 20 5b 2d 31 2c 20 30 2c 20 31 5d 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b oots(a,.[-1,.0,.1]).....array([[
6980 2d 30 2e 2c 20 20 20 30 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 20 36 2e 2c 20 20 32 34 -0.,...0.],............[.6.,..24
69a0 2e 5d 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 72 20 3d 20 6e 70 2e 61 72 61 6e 67 65 28 2d 32 2c 20 32 .]]).....>>>.r.=.np.arange(-2,.2
69c0 29 2e 72 65 73 68 61 70 65 28 32 2c 32 29 20 20 23 20 6d 75 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e ).reshape(2,2)..#.multidimension
69e0 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 72 20 23 20 65 61 63 68 al.coefficients.....>>>.r.#.each
6a00 20 63 6f 6c 75 6d 6e 20 6f 66 20 72 20 64 65 66 69 6e 65 73 20 6f 6e 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d .column.of.r.defines.one.polynom
6a20 69 61 6c 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 2d 32 2c 20 2d 31 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 ial.....array([[-2,.-1],........
6a40 20 20 20 20 5b 20 30 2c 20 20 31 5d 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 62 20 3d 20 5b 2d 32 2c 20 ....[.0,..1]]).....>>>.b.=.[-2,.
6a60 31 5d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 62 2c 20 72 1].....>>>.polyvalfromroots(b,.r
6a80 2c 20 74 65 6e 73 6f 72 3d 54 72 75 65 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 2d 30 2e 2c 20 ,.tensor=True).....array([[-0.,.
6aa0 20 33 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 20 33 2e 2c 20 30 2e 5d 5d 29 0a 20 20 20 .3.],............[.3.,.0.]])....
6ac0 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 62 2c 20 72 2c 20 74 65 6e 73 .>>>.polyvalfromroots(b,.r,.tens
6ae0 6f 72 3d 46 61 6c 73 65 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 2d 30 2e 2c 20 20 30 2e 5d 29 0a or=False).....array([-0.,..0.]).
6b00 0a 20 20 20 20 72 20 00 00 00 4e 72 4e 00 00 00 72 51 00 00 00 72 6a 00 00 00 7a 2c 78 2e 6e 64 .....r....NrN...rQ...rj...z,x.nd
6b20 69 6d 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 3c 20 72 2e 6e 64 69 6d 20 77 68 65 6e 20 74 65 6e 73 6f 72 20 im.must.be.<.r.ndim.when.tensor.
6b40 3d 3d 20 46 61 6c 73 65 72 1e 00 00 00 29 01 72 5c 00 00 00 29 10 72 24 00 00 00 72 25 00 00 00 ==.Falser....).r\...).r$...r%...
6b60 72 37 00 00 00 72 54 00 00 00 da 06 61 73 74 79 70 65 da 06 64 6f 75 62 6c 65 72 6c 00 00 00 72 r7...rT.....astype..doublerl...r
6b80 6d 00 00 00 72 64 00 00 00 72 6e 00 00 00 72 6f 00 00 00 72 70 00 00 00 72 5a 00 00 00 72 57 00 m...rd...rn...ro...rp...rZ...rW.
6ba0 00 00 72 56 00 00 00 da 04 70 72 6f 64 29 03 72 71 00 00 00 da 01 72 72 72 00 00 00 73 03 00 00 ..rV.....prod).rq.....rrr...s...
6bc0 00 20 20 20 72 28 00 00 00 72 0e 00 00 00 72 0e 00 00 00 f6 02 00 00 73 b5 00 00 00 80 00 f4 54 ....r(...r....r........s.......T
6be0 02 00 09 0b 8f 08 89 08 90 11 98 21 a0 24 d4 08 27 80 41 d8 07 08 87 77 81 77 87 7c 81 7c 90 7f ...........!.$..'.A....w.w.|.|..
6c00 d1 07 26 d8 0c 0d 8f 48 89 48 94 52 97 59 91 59 d3 0c 1f 88 01 dc 07 11 90 21 94 65 9c 54 90 5d ..&....H.H.R.Y.Y.........!.e.T.]
6c20 d4 07 23 dc 0c 0e 8f 4a 89 4a 90 71 8b 4d 88 01 dc 07 11 90 21 94 52 97 5a 91 5a d4 07 20 d9 0b ..#....J.J.q.M......!.R.Z.Z.....
6c40 11 d8 10 11 97 09 91 09 98 21 9f 27 99 27 a0 44 a8 31 af 36 a9 36 a1 4d d1 1a 31 d3 10 32 89 41 .........!.'.'.D.1.6.6.M..1..2.A
6c60 d8 0d 0e 8f 56 89 56 90 71 97 76 91 76 d2 0d 1d dc 12 1c d0 1d 4b d3 12 4c d0 0c 4c dc 0b 0d 8f ....V.V.q.v.v........K..L..L....
6c80 37 89 37 90 31 90 71 91 35 98 71 d4 0b 21 d0 04 21 72 29 00 00 00 63 03 00 00 00 00 00 00 00 00 7.7.1.q.5.q..!..!r)...c.........
6ca0 00 00 00 06 00 00 00 03 00 00 00 f3 3a 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 ............:.....t.........j...
6cc0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 02 7c 00 7c 01 ................t.........|.|.|.
6ce0 ab 04 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 61 b5 06 00 00 0a 20 20 20 20 45 76 61 6c 75 61 74 65 20 61 ........S.).a.........Evaluate.a
6d00 20 32 2d 44 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 74 20 70 6f 69 6e 74 73 20 28 78 2c 20 79 29 .2-D.polynomial.at.points.(x,.y)
6d20 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 69 73 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 72 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 .......This.function.returns.the
6d40 20 76 61 6c 75 65 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 78 2c 79 29 20 3d 20 5c .value.........math::.p(x,y).=.\
6d60 73 75 6d 5f 7b 69 2c 6a 7d 20 63 5f 7b 69 2c 6a 7d 20 2a 20 78 5e 69 20 2a 20 79 5e 6a 0a 0a 20 sum_{i,j}.c_{i,j}.*.x^i.*.y^j...
6d80 20 20 20 54 68 65 20 70 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 20 60 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 20 61 72 ...The.parameters.`x`.and.`y`.ar
6da0 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 72 72 61 79 73 20 6f 6e 6c 79 20 69 66 20 74 68 e.converted.to.arrays.only.if.th
6dc0 65 79 20 61 72 65 0a 20 20 20 20 74 75 70 6c 65 73 20 6f 72 20 61 20 6c 69 73 74 73 2c 20 6f 74 ey.are.....tuples.or.a.lists,.ot
6de0 68 65 72 77 69 73 65 20 74 68 65 79 20 61 72 65 20 74 72 65 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 herwise.they.are.treated.as.a.sc
6e00 61 6c 61 72 73 20 61 6e 64 20 74 68 65 79 0a 20 20 20 20 6d 75 73 74 20 68 61 76 65 20 74 68 65 alars.and.they.....must.have.the
6e20 20 73 61 6d 65 20 73 68 61 70 65 20 61 66 74 65 72 20 63 6f 6e 76 65 72 73 69 6f 6e 2e 20 49 6e .same.shape.after.conversion..In
6e40 20 65 69 74 68 65 72 20 63 61 73 65 2c 20 65 69 74 68 65 72 20 60 78 60 0a 20 20 20 20 61 6e 64 .either.case,.either.`x`.....and
6e60 20 60 79 60 20 6f 72 20 74 68 65 69 72 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6d 75 73 74 20 73 75 70 70 .`y`.or.their.elements.must.supp
6e80 6f 72 74 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 20 ort.multiplication.and.addition.
6ea0 62 6f 74 68 0a 20 20 20 20 77 69 74 68 20 74 68 65 6d 73 65 6c 76 65 73 20 61 6e 64 20 77 69 74 both.....with.themselves.and.wit
6ec0 68 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 20 60 63 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 h.the.elements.of.`c`.......If.`
6ee0 63 60 20 68 61 73 20 66 65 77 65 72 20 74 68 61 6e 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 73 c`.has.fewer.than.two.dimensions
6f00 2c 20 6f 6e 65 73 20 61 72 65 20 69 6d 70 6c 69 63 69 74 6c 79 20 61 70 70 65 6e 64 65 64 20 74 ,.ones.are.implicitly.appended.t
6f20 6f 0a 20 20 20 20 69 74 73 20 73 68 61 70 65 20 74 6f 20 6d 61 6b 65 20 69 74 20 32 2d 44 2e 20 o.....its.shape.to.make.it.2-D..
6f40 54 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 The.shape.of.the.result.will.be.
6f60 63 2e 73 68 61 70 65 5b 32 3a 5d 20 2b 0a 20 20 20 20 78 2e 73 68 61 70 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 c.shape[2:].+.....x.shape.......
6f80 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 2c Parameters.....----------.....x,
6fa0 20 79 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 .y.:.array_like,.compatible.obje
6fc0 63 74 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 cts.........The.two.dimensional.
6fe0 73 65 72 69 65 73 20 69 73 20 65 76 61 6c 75 61 74 65 64 20 61 74 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e 74 series.is.evaluated.at.the.point
7000 73 20 60 60 28 78 2c 20 79 29 60 60 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 60 78 60 20 s.``(x,.y)``,.........where.`x`.
7020 61 6e 64 20 60 79 60 20 6d 75 73 74 20 68 61 76 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 73 68 61 70 65 and.`y`.must.have.the.same.shape
7040 2e 20 49 66 20 60 78 60 20 6f 72 20 60 79 60 20 69 73 20 61 20 6c 69 73 74 0a 20 20 20 20 20 20 ..If.`x`.or.`y`.is.a.list.......
7060 20 20 6f 72 20 74 75 70 6c 65 2c 20 69 74 20 69 73 20 66 69 72 73 74 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 ..or.tuple,.it.is.first.converte
7080 64 20 74 6f 20 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 d.to.an.ndarray,.otherwise.it.is
70a0 20 6c 65 66 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 75 6e 63 68 61 6e 67 65 64 20 61 6e 64 2c 20 69 66 20 .left.........unchanged.and,.if.
70c0 69 74 20 69 73 6e 27 74 20 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 69 74 20 69 73 20 74 72 65 61 74 it.isn't.an.ndarray,.it.is.treat
70e0 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 2e 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 ed.as.a.scalar......c.:.array_li
7100 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 61 79 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 ke.........Array.of.coefficients
7120 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 73 6f 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 .ordered.so.that.the.coefficient
7140 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 65 72 6d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6f 66 20 6d 75 6c 74 69 2d 64 65 .of.the.term.........of.multi-de
7160 67 72 65 65 20 69 2c 6a 20 69 73 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 65 64 20 69 6e 20 60 60 63 5b 69 2c 6a gree.i,j.is.contained.in.``c[i,j
7180 5d 60 60 2e 20 49 66 20 60 63 60 20 68 61 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f ]``..If.`c`.has.........dimensio
71a0 6e 20 67 72 65 61 74 65 72 20 74 68 61 6e 20 74 77 6f 20 74 68 65 20 72 65 6d 61 69 6e 69 6e 67 n.greater.than.two.the.remaining
71c0 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 65 6e 75 6d 65 72 61 74 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 0a 20 20 20 20 .indices.enumerate.multiple.....
71e0 20 20 20 20 73 65 74 73 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 ....sets.of.coefficients.......R
7200 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 3a 20 eturns.....-------.....values.:.
7220 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 ndarray,.compatible.object......
7240 20 20 20 54 68 65 20 76 61 6c 75 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 ...The.values.of.the.two.dimensi
7260 6f 6e 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 74 20 70 6f 69 6e 74 73 20 66 6f 72 6d 65 64 onal.polynomial.at.points.formed
7280 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 70 61 69 72 73 20 6f 66 20 63 6f 72 72 65 73 70 6f 6e .with.........pairs.of.correspon
72a0 64 69 6e 67 20 76 61 6c 75 65 73 20 66 72 6f 6d 20 60 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 2e 0a 0a 20 ding.values.from.`x`.and.`y`....
72c0 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c ...See.Also.....--------.....pol
72e0 79 76 61 6c 2c 20 70 6f 6c 79 67 72 69 64 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 2c 20 70 6f 6c yval,.polygrid2d,.polyval3d,.pol
7300 79 67 72 69 64 33 64 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d ygrid3d......Examples.....------
7320 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c --.....>>>.from.numpy.polynomial
7340 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 .import.polynomial.as.P.....>>>.
7360 63 20 3d 20 28 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 2c 20 28 34 2c 20 35 2c 20 36 29 29 0a 20 20 20 20 3e c.=.((1,.2,.3),.(4,.5,.6)).....>
7380 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 28 31 2c 20 31 2c 20 63 29 0a 20 20 20 20 32 31 2e 30 >>.P.polyval2d(1,.1,.c).....21.0
73a0 0a 0a 20 20 20 20 a9 03 72 2b 00 00 00 da 06 5f 76 61 6c 6e 64 72 0d 00 00 00 a9 03 72 71 00 00 ........r+....._valndr......rq..
73c0 00 da 01 79 72 3b 00 00 00 73 03 00 00 00 20 20 20 72 28 00 00 00 72 17 00 00 00 72 17 00 00 00 ...yr;...s.......r(...r....r....
73e0 4d 03 00 00 73 1a 00 00 00 80 00 f4 62 01 00 0c 0e 8f 39 89 39 94 57 98 61 a0 11 a0 41 d3 0b 26 M...s.......b.....9.9.W.a...A..&
7400 d0 04 26 72 29 00 00 00 63 03 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 06 00 00 00 03 00 00 00 f3 3a 00 ..&r)...c.....................:.
7420 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ....t.........j.................
7440 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 02 7c 00 7c 01 ab 04 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 61 6c ..t.........|.|.|.........S.).al
7460 07 00 00 0a 20 20 20 20 45 76 61 6c 75 61 74 65 20 61 20 32 2d 44 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 ........Evaluate.a.2-D.polynomia
7480 6c 20 6f 6e 20 74 68 65 20 43 61 72 74 65 73 69 61 6e 20 70 72 6f 64 75 63 74 20 6f 66 20 78 20 l.on.the.Cartesian.product.of.x.
74a0 61 6e 64 20 79 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 69 73 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 72 65 74 75 72 6e and.y.......This.function.return
74c0 73 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 73 3a 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 61 s.the.values:.........math::.p(a
74e0 2c 62 29 20 3d 20 5c 73 75 6d 5f 7b 69 2c 6a 7d 20 63 5f 7b 69 2c 6a 7d 20 2a 20 61 5e 69 20 2a ,b).=.\sum_{i,j}.c_{i,j}.*.a^i.*
7500 20 62 5e 6a 0a 0a 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 28 61 2c .b^j......where.the.points.``(a,
7520 20 62 29 60 60 20 63 6f 6e 73 69 73 74 20 6f 66 20 61 6c 6c 20 70 61 69 72 73 20 66 6f 72 6d 65 .b)``.consist.of.all.pairs.forme
7540 64 20 62 79 20 74 61 6b 69 6e 67 0a 20 20 20 20 60 61 60 20 66 72 6f 6d 20 60 78 60 20 61 6e 64 d.by.taking.....`a`.from.`x`.and
7560 20 60 62 60 20 66 72 6f 6d 20 60 79 60 2e 20 54 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 69 6e 67 20 70 6f 69 .`b`.from.`y`..The.resulting.poi
7580 6e 74 73 20 66 6f 72 6d 20 61 20 67 72 69 64 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 60 78 60 20 69 6e 20 nts.form.a.grid.with.....`x`.in.
75a0 74 68 65 20 66 69 72 73 74 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 20 61 6e 64 20 60 79 60 20 69 6e 20 74 the.first.dimension.and.`y`.in.t
75c0 68 65 20 73 65 63 6f 6e 64 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 70 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 20 60 he.second.......The.parameters.`
75e0 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 20 61 72 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 72 72 61 x`.and.`y`.are.converted.to.arra
7600 79 73 20 6f 6e 6c 79 20 69 66 20 74 68 65 79 20 61 72 65 0a 20 20 20 20 74 75 70 6c 65 73 20 6f ys.only.if.they.are.....tuples.o
7620 72 20 61 20 6c 69 73 74 73 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 74 68 65 79 20 61 72 65 20 74 72 r.a.lists,.otherwise.they.are.tr
7640 65 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 73 2e 20 49 6e 20 65 69 74 68 65 72 0a 20 20 eated.as.a.scalars..In.either...
7660 20 20 63 61 73 65 2c 20 65 69 74 68 65 72 20 60 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 20 6f 72 20 74 68 ..case,.either.`x`.and.`y`.or.th
7680 65 69 72 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6d 75 73 74 20 73 75 70 70 6f 72 74 20 6d 75 6c 74 69 70 eir.elements.must.support.multip
76a0 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 0a 20 20 20 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 20 62 6f 74 68 20 77 lication.....and.addition.both.w
76c0 69 74 68 20 74 68 65 6d 73 65 6c 76 65 73 20 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d ith.themselves.and.with.the.elem
76e0 65 6e 74 73 20 6f 66 20 60 63 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 63 60 20 68 61 73 20 66 65 77 ents.of.`c`.......If.`c`.has.few
7700 65 72 20 74 68 61 6e 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 73 2c 20 6f 6e 65 73 20 61 72 65 er.than.two.dimensions,.ones.are
7720 20 69 6d 70 6c 69 63 69 74 6c 79 20 61 70 70 65 6e 64 65 64 20 74 6f 0a 20 20 20 20 69 74 73 20 .implicitly.appended.to.....its.
7740 73 68 61 70 65 20 74 6f 20 6d 61 6b 65 20 69 74 20 32 2d 44 2e 20 54 68 65 20 73 68 61 70 65 20 shape.to.make.it.2-D..The.shape.
7760 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 63 2e 73 68 61 70 65 5b 32 3a of.the.result.will.be.c.shape[2:
7780 5d 20 2b 0a 20 20 20 20 78 2e 73 68 61 70 65 20 2b 20 79 2e 73 68 61 70 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 ].+.....x.shape.+.y.shape.......
77a0 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 2c Parameters.....----------.....x,
77c0 20 79 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 .y.:.array_like,.compatible.obje
77e0 63 74 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 cts.........The.two.dimensional.
7800 73 65 72 69 65 73 20 69 73 20 65 76 61 6c 75 61 74 65 64 20 61 74 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e 74 series.is.evaluated.at.the.point
7820 73 20 69 6e 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 43 61 72 74 65 73 69 61 6e 20 70 72 6f 64 75 s.in.the.........Cartesian.produ
7840 63 74 20 6f 66 20 60 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 2e 20 20 49 66 20 60 78 60 20 6f 72 20 60 79 ct.of.`x`.and.`y`...If.`x`.or.`y
7860 60 20 69 73 20 61 20 6c 69 73 74 20 6f 72 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 74 75 70 6c 65 2c 20 69 74 `.is.a.list.or.........tuple,.it
7880 20 69 73 20 66 69 72 73 74 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 .is.first.converted.to.an.ndarra
78a0 79 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 20 6c 65 66 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 y,.otherwise.it.is.left.........
78c0 75 6e 63 68 61 6e 67 65 64 20 61 6e 64 2c 20 69 66 20 69 74 20 69 73 6e 27 74 20 61 6e 20 6e 64 unchanged.and,.if.it.isn't.an.nd
78e0 61 72 72 61 79 2c 20 69 74 20 69 73 20 74 72 65 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 array,.it.is.treated.as.a.scalar
7900 2e 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 ......c.:.array_like.........Arr
7920 61 79 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 73 6f 20 74 68 ay.of.coefficients.ordered.so.th
7940 61 74 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 66 6f 72 20 74 65 72 6d 73 20 6f 66 at.the.coefficients.for.terms.of
7960 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 65 67 72 65 65 20 69 2c 6a 20 61 72 65 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 65 .........degree.i,j.are.containe
7980 64 20 69 6e 20 60 60 63 5b 69 2c 6a 5d 60 60 2e 20 49 66 20 60 63 60 20 68 61 73 20 64 69 6d 65 d.in.``c[i,j]``..If.`c`.has.dime
79a0 6e 73 69 6f 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 67 72 65 61 74 65 72 20 74 68 61 6e 20 74 77 6f 20 74 nsion.........greater.than.two.t
79c0 68 65 20 72 65 6d 61 69 6e 69 6e 67 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 65 6e 75 6d 65 72 61 74 65 20 6d he.remaining.indices.enumerate.m
79e0 75 6c 74 69 70 6c 65 20 73 65 74 73 20 6f 66 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 ultiple.sets.of.........coeffici
7a00 65 6e 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 ents.......Returns.....-------..
7a20 20 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 ...values.:.ndarray,.compatible.
7a40 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 76 61 6c 75 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 object.........The.values.of.the
7a60 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 74 20 70 .two.dimensional.polynomial.at.p
7a80 6f 69 6e 74 73 20 69 6e 20 74 68 65 20 43 61 72 74 65 73 69 61 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 70 oints.in.the.Cartesian.........p
7aa0 72 6f 64 75 63 74 20 6f 66 20 60 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 roduct.of.`x`.and.`y`.......See.
7ac0 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 2c 20 70 Also.....--------.....polyval,.p
7ae0 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 2c 20 70 6f 6c 79 67 72 69 64 33 64 0a olyval2d,.polyval3d,.polygrid3d.
7b00 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e .....Examples.....--------.....>
7b20 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 >>.from.numpy.polynomial.import.
7b40 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 20 3d 20 28 28 31 2c polynomial.as.P.....>>>.c.=.((1,
7b60 20 32 2c 20 33 29 2c 20 28 34 2c 20 35 2c 20 36 29 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c .2,.3),.(4,.5,.6)).....>>>.P.pol
7b80 79 67 72 69 64 32 64 28 5b 30 2c 20 31 5d 2c 20 5b 30 2c 20 31 5d 2c 20 63 29 0a 20 20 20 20 61 ygrid2d([0,.1],.[0,.1],.c).....a
7ba0 72 72 61 79 28 5b 5b 20 31 2e 2c 20 20 36 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 20 35 rray([[.1.,..6.],............[.5
7bc0 2e 2c 20 32 31 2e 5d 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 a9 03 72 2b 00 00 00 da 07 5f 67 72 69 64 6e 64 72 .,.21.]])........r+....._gridndr
7be0 0d 00 00 00 72 7c 00 00 00 73 03 00 00 00 20 20 20 72 28 00 00 00 72 19 00 00 00 72 19 00 00 00 ....r|...s.......r(...r....r....
7c00 81 03 00 00 73 1a 00 00 00 80 00 f4 6a 01 00 0c 0e 8f 3a 89 3a 94 67 98 71 a0 21 a0 51 d3 0b 27 ....s.......j.....:.:.g.q.!.Q..'
7c20 d0 04 27 72 29 00 00 00 63 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 07 00 00 00 03 00 00 00 f3 3c 00 ..'r)...c.....................<.
7c40 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ....t.........j.................
7c60 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 03 7c 00 7c 01 7c 02 ab 05 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 ..t.........|.|.|.|.........S.).
7c80 61 0b 07 00 00 0a 20 20 20 20 45 76 61 6c 75 61 74 65 20 61 20 33 2d 44 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d a.........Evaluate.a.3-D.polynom
7ca0 69 61 6c 20 61 74 20 70 6f 69 6e 74 73 20 28 78 2c 20 79 2c 20 7a 29 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 ial.at.points.(x,.y,.z).......Th
7cc0 69 73 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 72 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 73 3a 0a is.function.returns.the.values:.
7ce0 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 78 2c 79 2c 7a 29 20 3d 20 5c 73 75 6d 5f 7b ........math::.p(x,y,z).=.\sum_{
7d00 69 2c 6a 2c 6b 7d 20 63 5f 7b 69 2c 6a 2c 6b 7d 20 2a 20 78 5e 69 20 2a 20 79 5e 6a 20 2a 20 7a i,j,k}.c_{i,j,k}.*.x^i.*.y^j.*.z
7d20 5e 6b 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 70 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c ^k......The.parameters.`x`,.`y`,
7d40 20 61 6e 64 20 60 7a 60 20 61 72 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 72 72 61 79 73 .and.`z`.are.converted.to.arrays
7d60 20 6f 6e 6c 79 20 69 66 0a 20 20 20 20 74 68 65 79 20 61 72 65 20 74 75 70 6c 65 73 20 6f 72 20 .only.if.....they.are.tuples.or.
7d80 61 20 6c 69 73 74 73 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 74 68 65 79 20 61 72 65 20 74 72 65 61 a.lists,.otherwise.they.are.trea
7da0 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 73 20 61 6e 64 0a 20 20 20 20 74 68 65 79 20 6d 75 ted.as.a.scalars.and.....they.mu
7dc0 73 74 20 68 61 76 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 73 68 61 70 65 20 61 66 74 65 72 20 63 6f 6e st.have.the.same.shape.after.con
7de0 76 65 72 73 69 6f 6e 2e 20 49 6e 20 65 69 74 68 65 72 20 63 61 73 65 2c 20 65 69 74 68 65 72 0a version..In.either.case,.either.
7e00 20 20 20 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 60 7a 60 20 6f 72 20 74 68 65 69 72 20 65 ....`x`,.`y`,.and.`z`.or.their.e
7e20 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6d 75 73 74 20 73 75 70 70 6f 72 74 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 lements.must.support.multiplicat
7e40 69 6f 6e 20 61 6e 64 0a 20 20 20 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 20 62 6f 74 68 20 77 69 74 68 20 74 ion.and.....addition.both.with.t
7e60 68 65 6d 73 65 6c 76 65 73 20 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 hemselves.and.with.the.elements.
7e80 6f 66 20 60 63 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 63 60 20 68 61 73 20 66 65 77 65 72 20 74 68 of.`c`.......If.`c`.has.fewer.th
7ea0 61 6e 20 33 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 73 2c 20 6f 6e 65 73 20 61 72 65 20 69 6d 70 6c 69 63 an.3.dimensions,.ones.are.implic
7ec0 69 74 6c 79 20 61 70 70 65 6e 64 65 64 20 74 6f 20 69 74 73 0a 20 20 20 20 73 68 61 70 65 20 74 itly.appended.to.its.....shape.t
7ee0 6f 20 6d 61 6b 65 20 69 74 20 33 2d 44 2e 20 54 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 o.make.it.3-D..The.shape.of.the.
7f00 72 65 73 75 6c 74 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 63 2e 73 68 61 70 65 5b 33 3a 5d 20 2b 0a 20 20 20 result.will.be.c.shape[3:].+....
7f20 20 78 2e 73 68 61 70 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d .x.shape.......Parameters.....--
7f40 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 2c 20 79 2c 20 7a 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b --------.....x,.y,.z.:.array_lik
7f60 65 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 e,.compatible.object.........The
7f80 20 74 68 72 65 65 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 73 65 72 69 65 73 20 69 73 20 65 76 61 .three.dimensional.series.is.eva
7fa0 6c 75 61 74 65 64 20 61 74 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e 74 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 60 60 28 luated.at.the.points.........``(
7fc0 78 2c 20 79 2c 20 7a 29 60 60 2c 20 77 68 65 72 65 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 x,.y,.z)``,.where.`x`,.`y`,.and.
7fe0 60 7a 60 20 6d 75 73 74 20 68 61 76 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 73 68 61 70 65 2e 20 20 49 `z`.must.have.the.same.shape...I
8000 66 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 6e 79 20 6f 66 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 6f 72 20 60 7a f.........any.of.`x`,.`y`,.or.`z
8020 60 20 69 73 20 61 20 6c 69 73 74 20 6f 72 20 74 75 70 6c 65 2c 20 69 74 20 69 73 20 66 69 72 73 `.is.a.list.or.tuple,.it.is.firs
8040 74 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 74 6f 20 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 t.converted.........to.an.ndarra
8060 79 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 20 6c 65 66 74 20 75 6e 63 68 61 6e 67 65 y,.otherwise.it.is.left.unchange
8080 64 20 61 6e 64 20 69 66 20 69 74 20 69 73 6e 27 74 20 61 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6e 64 61 d.and.if.it.isn't.an.........nda
80a0 72 72 61 79 20 69 74 20 69 73 20 20 74 72 65 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 2e rray.it.is..treated.as.a.scalar.
80c0 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 61 .....c.:.array_like.........Arra
80e0 79 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 73 6f 20 74 68 61 y.of.coefficients.ordered.so.tha
8100 74 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 65 72 6d 20 6f 66 t.the.coefficient.of.the.term.of
8120 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6d 75 6c 74 69 2d 64 65 67 72 65 65 20 69 2c 6a 2c 6b 20 69 73 20 63 .........multi-degree.i,j,k.is.c
8140 6f 6e 74 61 69 6e 65 64 20 69 6e 20 60 60 63 5b 69 2c 6a 2c 6b 5d 60 60 2e 20 49 66 20 60 63 60 ontained.in.``c[i,j,k]``..If.`c`
8160 20 68 61 73 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 67 72 65 61 74 65 72 20 74 .has.dimension.........greater.t
8180 68 61 6e 20 33 20 74 68 65 20 72 65 6d 61 69 6e 69 6e 67 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 65 6e 75 6d han.3.the.remaining.indices.enum
81a0 65 72 61 74 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 20 73 65 74 73 20 6f 66 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 63 erate.multiple.sets.of.........c
81c0 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d oefficients.......Returns.....--
81e0 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 63 6f 6d 70 -----.....values.:.ndarray,.comp
8200 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 76 61 6c 75 65 73 atible.object.........The.values
8220 20 6f 66 20 74 68 65 20 6d 75 6c 74 69 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d .of.the.multidimensional.polynom
8240 69 61 6c 20 6f 6e 20 70 6f 69 6e 74 73 20 66 6f 72 6d 65 64 20 77 69 74 68 0a 20 20 20 20 20 20 ial.on.points.formed.with.......
8260 20 20 74 72 69 70 6c 65 73 20 6f 66 20 63 6f 72 72 65 73 70 6f 6e 64 69 6e 67 20 76 61 6c 75 65 ..triples.of.corresponding.value
8280 73 20 66 72 6f 6d 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 60 7a 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 s.from.`x`,.`y`,.and.`z`.......S
82a0 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6c ee.Also.....--------.....polyval
82c0 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 67 72 69 64 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 67 72 69 ,.polyval2d,.polygrid2d,.polygri
82e0 64 33 64 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 d3d......Examples.....--------..
8300 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 ...>>>.from.numpy.polynomial.imp
8320 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 20 3d 20 ort.polynomial.as.P.....>>>.c.=.
8340 28 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 2c 20 28 34 2c 20 35 2c 20 36 29 2c 20 28 37 2c 20 38 2c 20 39 29 ((1,.2,.3),.(4,.5,.6),.(7,.8,.9)
8360 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 28 31 2c 20 31 2c 20 31 2c 20 63 ).....>>>.P.polyval3d(1,.1,.1,.c
8380 29 0a 20 20 20 20 34 35 2e 30 0a 0a 20 20 20 20 72 7a 00 00 00 a9 04 72 71 00 00 00 72 7d 00 00 ).....45.0......rz.....rq...r}..
83a0 00 da 01 7a 72 3b 00 00 00 73 04 00 00 00 20 20 20 20 72 28 00 00 00 72 18 00 00 00 72 18 00 00 ...zr;...s........r(...r....r...
83c0 00 b9 03 00 00 73 1c 00 00 00 80 00 f4 64 01 00 0c 0e 8f 39 89 39 94 57 98 61 a0 11 a0 41 a0 71 .....s.......d.....9.9.W.a...A.q
83e0 d3 0b 29 d0 04 29 72 29 00 00 00 63 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 07 00 00 00 03 00 00 00 ..)..)r)...c....................
8400 f3 3c 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .<.....t.........j..............
8420 00 00 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 03 7c 00 7c 01 7c 02 ab 05 00 00 00 00 00 00 53 .....t.........|.|.|.|.........S
8440 00 29 01 61 ee 07 00 00 0a 20 20 20 20 45 76 61 6c 75 61 74 65 20 61 20 33 2d 44 20 70 6f 6c 79 .).a.........Evaluate.a.3-D.poly
8460 6e 6f 6d 69 61 6c 20 6f 6e 20 74 68 65 20 43 61 72 74 65 73 69 61 6e 20 70 72 6f 64 75 63 74 20 nomial.on.the.Cartesian.product.
8480 6f 66 20 78 2c 20 79 20 61 6e 64 20 7a 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 69 73 20 66 75 6e 63 74 69 6f of.x,.y.and.z.......This.functio
84a0 6e 20 72 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 73 3a 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 n.returns.the.values:.........ma
84c0 74 68 3a 3a 20 70 28 61 2c 62 2c 63 29 20 3d 20 5c 73 75 6d 5f 7b 69 2c 6a 2c 6b 7d 20 63 5f 7b th::.p(a,b,c).=.\sum_{i,j,k}.c_{
84e0 69 2c 6a 2c 6b 7d 20 2a 20 61 5e 69 20 2a 20 62 5e 6a 20 2a 20 63 5e 6b 0a 0a 20 20 20 20 77 68 i,j,k}.*.a^i.*.b^j.*.c^k......wh
8500 65 72 65 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 28 61 2c 20 62 2c 20 63 29 60 60 20 63 6f 6e ere.the.points.``(a,.b,.c)``.con
8520 73 69 73 74 20 6f 66 20 61 6c 6c 20 74 72 69 70 6c 65 73 20 66 6f 72 6d 65 64 20 62 79 20 74 61 sist.of.all.triples.formed.by.ta
8540 6b 69 6e 67 0a 20 20 20 20 60 61 60 20 66 72 6f 6d 20 60 78 60 2c 20 60 62 60 20 66 72 6f 6d 20 king.....`a`.from.`x`,.`b`.from.
8560 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 60 63 60 20 66 72 6f 6d 20 60 7a 60 2e 20 54 68 65 20 72 65 73 75 6c `y`,.and.`c`.from.`z`..The.resul
8580 74 69 6e 67 20 70 6f 69 6e 74 73 20 66 6f 72 6d 0a 20 20 20 20 61 20 67 72 69 64 20 77 69 74 68 ting.points.form.....a.grid.with
85a0 20 60 78 60 20 69 6e 20 74 68 65 20 66 69 72 73 74 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 2c 20 60 79 60 .`x`.in.the.first.dimension,.`y`
85c0 20 69 6e 20 74 68 65 20 73 65 63 6f 6e 64 2c 20 61 6e 64 20 60 7a 60 20 69 6e 0a 20 20 20 20 74 .in.the.second,.and.`z`.in.....t
85e0 68 65 20 74 68 69 72 64 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 70 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 20 60 78 he.third.......The.parameters.`x
8600 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 60 7a 60 20 61 72 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f `,.`y`,.and.`z`.are.converted.to
8620 20 61 72 72 61 79 73 20 6f 6e 6c 79 20 69 66 20 74 68 65 79 0a 20 20 20 20 61 72 65 20 74 75 70 .arrays.only.if.they.....are.tup
8640 6c 65 73 20 6f 72 20 61 20 6c 69 73 74 73 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 74 68 65 79 20 61 les.or.a.lists,.otherwise.they.a
8660 72 65 20 74 72 65 61 74 65 64 20 61 73 20 61 20 73 63 61 6c 61 72 73 2e 20 49 6e 0a 20 20 20 20 re.treated.as.a.scalars..In.....
8680 65 69 74 68 65 72 20 63 61 73 65 2c 20 65 69 74 68 65 72 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e either.case,.either.`x`,.`y`,.an
86a0 64 20 60 7a 60 20 6f 72 20 74 68 65 69 72 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6d 75 73 74 20 73 75 70 d.`z`.or.their.elements.must.sup
86c0 70 6f 72 74 0a 20 20 20 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 port.....multiplication.and.addi
86e0 74 69 6f 6e 20 62 6f 74 68 20 77 69 74 68 20 74 68 65 6d 73 65 6c 76 65 73 20 61 6e 64 20 77 69 tion.both.with.themselves.and.wi
8700 74 68 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 0a 20 20 20 20 6f 66 20 60 63 60 2e 0a 0a 20 20 20 th.the.elements.....of.`c`......
8720 20 49 66 20 60 63 60 20 68 61 73 20 66 65 77 65 72 20 74 68 61 6e 20 74 68 72 65 65 20 64 69 6d .If.`c`.has.fewer.than.three.dim
8740 65 6e 73 69 6f 6e 73 2c 20 6f 6e 65 73 20 61 72 65 20 69 6d 70 6c 69 63 69 74 6c 79 20 61 70 70 ensions,.ones.are.implicitly.app
8760 65 6e 64 65 64 20 74 6f 0a 20 20 20 20 69 74 73 20 73 68 61 70 65 20 74 6f 20 6d 61 6b 65 20 69 ended.to.....its.shape.to.make.i
8780 74 20 33 2d 44 2e 20 54 68 65 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 20 77 t.3-D..The.shape.of.the.result.w
87a0 69 6c 6c 20 62 65 20 63 2e 73 68 61 70 65 5b 33 3a 5d 20 2b 0a 20 20 20 20 78 2e 73 68 61 70 65 ill.be.c.shape[3:].+.....x.shape
87c0 20 2b 20 79 2e 73 68 61 70 65 20 2b 20 7a 2e 73 68 61 70 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d .+.y.shape.+.z.shape.......Param
87e0 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 2c 20 79 2c 20 7a eters.....----------.....x,.y,.z
8800 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 .:.array_like,.compatible.object
8820 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 74 68 72 65 65 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 6c 20 s.........The.three.dimensional.
8840 73 65 72 69 65 73 20 69 73 20 65 76 61 6c 75 61 74 65 64 20 61 74 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e 74 series.is.evaluated.at.the.point
8860 73 20 69 6e 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 43 61 72 74 65 73 69 61 6e 20 70 72 6f 64 75 s.in.the.........Cartesian.produ
8880 63 74 20 6f 66 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 60 7a 60 2e 20 20 49 66 20 60 78 60 ct.of.`x`,.`y`,.and.`z`...If.`x`
88a0 2c 20 60 79 60 2c 20 6f 72 20 60 7a 60 20 69 73 20 61 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6c 69 73 74 20 ,.`y`,.or.`z`.is.a.........list.
88c0 6f 72 20 74 75 70 6c 65 2c 20 69 74 20 69 73 20 66 69 72 73 74 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 or.tuple,.it.is.first.converted.
88e0 74 6f 20 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 0a 20 to.an.ndarray,.otherwise.it.is..
8900 20 20 20 20 20 20 20 6c 65 66 74 20 75 6e 63 68 61 6e 67 65 64 20 61 6e 64 2c 20 69 66 20 69 74 .......left.unchanged.and,.if.it
8920 20 69 73 6e 27 74 20 61 6e 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 69 74 20 69 73 20 74 72 65 61 74 65 64 .isn't.an.ndarray,.it.is.treated
8940 20 61 73 20 61 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 73 63 61 6c 61 72 2e 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 61 72 .as.a.........scalar......c.:.ar
8960 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 61 79 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 ray_like.........Array.of.coeffi
8980 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 73 6f 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 cients.ordered.so.that.the.coeff
89a0 69 63 69 65 6e 74 73 20 66 6f 72 20 74 65 72 6d 73 20 6f 66 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 65 67 icients.for.terms.of.........deg
89c0 72 65 65 20 69 2c 6a 20 61 72 65 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 65 64 20 69 6e 20 60 60 63 5b 69 2c 6a ree.i,j.are.contained.in.``c[i,j
89e0 5d 60 60 2e 20 49 66 20 60 63 60 20 68 61 73 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 0a 20 20 20 20 20 20 ]``..If.`c`.has.dimension.......
8a00 20 20 67 72 65 61 74 65 72 20 74 68 61 6e 20 74 77 6f 20 74 68 65 20 72 65 6d 61 69 6e 69 6e 67 ..greater.than.two.the.remaining
8a20 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 65 6e 75 6d 65 72 61 74 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 20 73 65 74 73 .indices.enumerate.multiple.sets
8a40 20 6f 66 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 .of.........coefficients.......R
8a60 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 3a 20 eturns.....-------.....values.:.
8a80 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 63 6f 6d 70 61 74 69 62 6c 65 20 6f 62 6a 65 63 74 0a 20 20 20 20 20 ndarray,.compatible.object......
8aa0 20 20 20 54 68 65 20 76 61 6c 75 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 77 6f 20 64 69 6d 65 6e 73 69 ...The.values.of.the.two.dimensi
8ac0 6f 6e 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 74 20 70 6f 69 6e 74 73 20 69 6e 20 74 68 65 onal.polynomial.at.points.in.the
8ae0 20 43 61 72 74 65 73 69 61 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 70 72 6f 64 75 63 74 20 6f 66 20 60 78 .Cartesian.........product.of.`x
8b00 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d `.and.`y`.......See.Also.....---
8b20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 2c 20 70 6f -----.....polyval,.polyval2d,.po
8b40 6c 79 67 72 69 64 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 lygrid2d,.polyval3d......Example
8b60 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 s.....--------.....>>>.from.nump
8b80 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 y.polynomial.import.polynomial.a
8ba0 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 20 3d 20 28 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 2c 20 28 34 2c 20 s.P.....>>>.c.=.((1,.2,.3),.(4,.
8bc0 35 2c 20 36 29 2c 20 28 37 2c 20 38 2c 20 39 29 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 5,.6),.(7,.8,.9)).....>>>.P.poly
8be0 67 72 69 64 33 64 28 5b 30 2c 20 31 5d 2c 20 5b 30 2c 20 31 5d 2c 20 5b 30 2c 20 31 5d 2c 20 63 grid3d([0,.1],.[0,.1],.[0,.1],.c
8c00 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 20 31 2e 2c 20 31 33 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 ).....array([[.1.,.13.],........
8c20 20 20 20 20 5b 20 36 2e 2c 20 35 31 2e 5d 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 72 7f 00 00 00 72 82 00 00 00 ....[.6.,.51.]])......r....r....
8c40 73 04 00 00 00 20 20 20 20 72 28 00 00 00 72 1a 00 00 00 72 1a 00 00 00 ee 03 00 00 73 1c 00 00 s........r(...r....r........s...
8c60 00 80 00 f4 70 01 00 0c 0e 8f 3a 89 3a 94 67 98 71 a0 21 a0 51 a8 01 d3 0b 2a d0 04 2a 72 29 00 ....p.....:.:.g.q.!.Q....*..*r).
8c80 00 00 63 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 05 00 00 00 03 00 00 00 f3 8c 01 00 00 97 00 74 01 ..c...........................t.
8ca0 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 64 01 ........j...................|.d.
8cc0 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 02 7c 02 64 02 6b 02 00 00 72 0b 74 05 00 00 00 00 00 00 00 00 64 03 ........}.|.d.k...r.t.........d.
8ce0 ab 01 00 00 00 00 00 00 82 01 74 07 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 08 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ..........t.........j...........
8d00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 04 64 05 ac 06 ab 03 00 00 00 00 00 00 64 07 7a 00 00 00 7d 00 ........|.d.d...........d.z...}.
8d20 7c 02 64 05 7a 00 00 00 66 01 7c 00 6a 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 |.d.z...f.|.j...................
8d40 7a 00 00 00 7d 03 7c 00 6a 0c 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7d 04 74 07 z...}.|.j...................}.t.
8d60 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0e 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 03 7c 04 ........j...................|.|.
8d80 ac 08 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 05 7c 00 64 02 7a 05 00 00 64 05 7a 00 00 00 7c 05 64 02 3c 00 ..........}.|.d.z...d.z...|.d.<.
8da0 00 00 7c 02 64 02 6b 44 00 00 72 27 7c 00 7c 05 64 05 3c 00 00 00 74 11 00 00 00 00 00 00 00 00 ..|.d.kD..r'|.|.d.<...t.........
8dc0 64 09 7c 02 64 05 7a 00 00 00 ab 02 00 00 00 00 00 00 44 00 5d 10 00 00 7d 06 7c 05 7c 06 64 05 d.|.d.z...........D.]...}.|.|.d.
8de0 7a 0a 00 00 19 00 00 00 7c 00 7a 05 00 00 7c 05 7c 06 3c 00 00 00 8c 12 04 00 74 07 00 00 00 00 z.......|.z...|.|.<.......t.....
8e00 00 00 00 00 6a 12 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 05 64 02 64 0a ab 03 ....j...................|.d.d...
8e20 00 00 00 00 00 00 53 00 29 0b 61 bf 06 00 00 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 ......S.).a....Vandermonde.matri
8e40 78 20 6f 66 20 67 69 76 65 6e 20 64 65 67 72 65 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 20 x.of.given.degree.......Returns.
8e60 74 68 65 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 65 67 72 65 65 the.Vandermonde.matrix.of.degree
8e80 20 60 64 65 67 60 20 61 6e 64 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f 69 6e 74 73 0a 20 20 20 20 60 78 60 .`deg`.and.sample.points.....`x`
8ea0 2e 20 54 68 65 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 69 73 20 64 65 66 69 ..The.Vandermonde.matrix.is.defi
8ec0 6e 65 64 20 62 79 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 56 5b 2e 2e 2e 2c 20 69 5d 20 ned.by.........math::.V[...,.i].
8ee0 3d 20 78 5e 69 2c 0a 0a 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 60 60 30 20 3c 3d 20 69 20 3c 3d 20 64 65 =.x^i,......where.``0.<=.i.<=.de
8f00 67 60 60 2e 20 54 68 65 20 6c 65 61 64 69 6e 67 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 6f 66 20 60 56 60 20 g``..The.leading.indices.of.`V`.
8f20 69 6e 64 65 78 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 0a 20 20 20 20 60 78 60 20 61 6e index.the.elements.of.....`x`.an
8f40 64 20 74 68 65 20 6c 61 73 74 20 69 6e 64 65 78 20 69 73 20 74 68 65 20 70 6f 77 65 72 20 6f 66 d.the.last.index.is.the.power.of
8f60 20 60 78 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 63 60 20 69 73 20 61 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 .`x`.......If.`c`.is.a.1-D.array
8f80 20 6f 66 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 66 20 6c 65 6e 67 74 68 20 60 60 6e 20 2b .of.coefficients.of.length.``n.+
8fa0 20 31 60 60 20 61 6e 64 20 60 56 60 20 69 73 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 6d 61 74 72 69 78 20 60 .1``.and.`V`.is.the.....matrix.`
8fc0 60 56 20 3d 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 28 78 2c 20 6e 29 60 60 2c 20 74 68 65 6e 20 60 60 `V.=.polyvander(x,.n)``,.then.``
8fe0 6e 70 2e 64 6f 74 28 56 2c 20 63 29 60 60 20 61 6e 64 0a 20 20 20 20 60 60 70 6f 6c 79 76 61 6c np.dot(V,.c)``.and.....``polyval
9000 28 78 2c 20 63 29 60 60 20 61 72 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 75 70 20 74 6f 20 72 6f 75 6e (x,.c)``.are.the.same.up.to.roun
9020 64 6f 66 66 2e 20 54 68 69 73 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 63 65 20 69 73 0a 20 20 20 20 75 73 doff..This.equivalence.is.....us
9040 65 66 75 6c 20 62 6f 74 68 20 66 6f 72 20 6c 65 61 73 74 20 73 71 75 61 72 65 73 20 66 69 74 74 eful.both.for.least.squares.fitt
9060 69 6e 67 20 61 6e 64 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 61 20 ing.and.for.the.evaluation.of.a.
9080 6c 61 72 67 65 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 20 large.....number.of.polynomials.
90a0 6f 66 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 64 65 67 72 65 65 20 61 6e 64 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f of.the.same.degree.and.sample.po
90c0 69 6e 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d ints.......Parameters.....------
90e0 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 ----.....x.:.array_like.........
9100 41 72 72 61 79 20 6f 66 20 70 6f 69 6e 74 73 2e 20 54 68 65 20 64 74 79 70 65 20 69 73 20 63 6f Array.of.points..The.dtype.is.co
9120 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 66 6c 6f 61 74 36 34 20 6f 72 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 31 32 38 nverted.to.float64.or.complex128
9140 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 65 70 65 6e 64 69 6e 67 20 6f 6e 20 77 68 65 74 68 65 72 20 61 6e .........depending.on.whether.an
9160 79 20 6f 66 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 2e 20 49 y.of.the.elements.are.complex..I
9180 66 20 60 78 60 20 69 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 73 63 61 6c 61 72 20 69 74 20 69 73 20 63 6f f.`x`.is.........scalar.it.is.co
91a0 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 61 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 2e 0a 20 20 20 20 64 65 67 20 nverted.to.a.1-D.array......deg.
91c0 3a 20 69 6e 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 44 65 67 72 65 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 73 75 :.int.........Degree.of.the.resu
91e0 6c 74 69 6e 67 20 6d 61 74 72 69 78 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d lting.matrix.......Returns.....-
9200 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 76 61 6e 64 65 72 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 2e 0a 20 20 20 ------.....vander.:.ndarray.....
9220 20 20 20 20 20 54 68 65 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 2e 20 54 68 65 .....The.Vandermonde.matrix..The
9240 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6d 61 74 72 69 78 20 69 73 .shape.of.the.returned.matrix.is
9260 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 60 60 78 2e 73 68 61 70 65 20 2b 20 28 64 65 67 20 2b 20 31 2c 29 60 .........``x.shape.+.(deg.+.1,)`
9280 60 2c 20 77 68 65 72 65 20 74 68 65 20 6c 61 73 74 20 69 6e 64 65 78 20 69 73 20 74 68 65 20 70 `,.where.the.last.index.is.the.p
92a0 6f 77 65 72 20 6f 66 20 60 78 60 2e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 64 74 79 70 65 20 77 ower.of.`x`..........The.dtype.w
92c0 69 6c 6c 20 62 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 61 73 20 74 68 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 ill.be.the.same.as.the.converted
92e0 20 60 78 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d .`x`.......See.Also.....--------
9300 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 33 64 0a .....polyvander2d,.polyvander3d.
9320 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 54 .....Examples.....--------.....T
9340 68 65 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 65 67 72 65 65 20 he.Vandermonde.matrix.of.degree.
9360 60 60 64 65 67 20 3d 20 35 60 60 20 61 6e 64 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f 69 6e 74 73 0a 20 20 ``deg.=.5``.and.sample.points...
9380 20 20 60 60 78 20 3d 20 5b 2d 31 2c 20 32 2c 20 33 5d 60 60 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 73 20 74 68 ..``x.=.[-1,.2,.3]``.contains.th
93a0 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 2d 77 69 73 65 20 70 6f 77 65 72 73 20 6f 66 20 60 78 60 0a 20 20 20 e.element-wise.powers.of.`x`....
93c0 20 66 72 6f 6d 20 30 20 74 6f 20 35 20 61 73 20 69 74 73 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 2e 0a 0a 20 20 .from.0.to.5.as.its.columns.....
93e0 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f ..>>>.from.numpy.polynomial.impo
9400 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 78 2c 20 64 65 rt.polynomial.as.P.....>>>.x,.de
9420 67 20 3d 20 5b 2d 31 2c 20 32 2c 20 33 5d 2c 20 35 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 g.=.[-1,.2,.3],.5.....>>>.P.poly
9440 76 61 6e 64 65 72 28 78 3d 78 2c 20 64 65 67 3d 64 65 67 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b vander(x=x,.deg=deg).....array([
9460 5b 20 20 31 2e 2c 20 20 2d 31 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 2d 31 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 [..1.,..-1.,...1.,..-1.,...1.,..
9480 2d 31 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 20 20 31 2e 2c 20 20 20 32 2e 2c 20 20 20 -1.],............[..1.,...2.,...
94a0 34 2e 2c 20 20 20 38 2e 2c 20 20 31 36 2e 2c 20 20 33 32 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 4.,...8.,..16.,..32.],..........
94c0 20 20 5b 20 20 31 2e 2c 20 20 20 33 2e 2c 20 20 20 39 2e 2c 20 20 32 37 2e 2c 20 20 38 31 2e 2c ..[..1.,...3.,...9.,..27.,..81.,
94e0 20 32 34 33 2e 5d 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 da 03 64 65 67 72 1e 00 00 00 7a 18 64 65 67 20 6d 75 .243.]])........degr....z.deg.mu
9500 73 74 20 62 65 20 6e 6f 6e 2d 6e 65 67 61 74 69 76 65 4e 72 20 00 00 00 29 02 72 50 00 00 00 72 st.be.non-negativeNr....).rP...r
9520 4f 00 00 00 72 52 00 00 00 72 36 00 00 00 72 6b 00 00 00 72 42 00 00 00 29 0a 72 2b 00 00 00 72 O...rR...r6...rk...rB...).r+...r
9540 55 00 00 00 72 56 00 00 00 72 24 00 00 00 72 25 00 00 00 72 5a 00 00 00 72 37 00 00 00 72 3a 00 U...rV...r$...r%...rZ...r7...r:.
9560 00 00 72 59 00 00 00 72 58 00 00 00 29 07 72 71 00 00 00 72 86 00 00 00 da 04 69 64 65 67 da 04 ..rY...rX...).rq...r......ideg..
9580 64 69 6d 73 da 04 64 74 79 70 da 01 76 72 47 00 00 00 73 07 00 00 00 20 20 20 20 20 20 20 72 28 dims..dtyp..vrG...s...........r(
95a0 00 00 00 72 12 00 00 00 72 12 00 00 00 29 04 00 00 73 cf 00 00 00 80 00 f4 66 01 00 0c 0e 8f 3a ...r....r....)...s.......f.....:
95c0 89 3a 90 63 98 35 d3 0b 21 80 44 d8 07 0b 88 61 82 78 dc 0e 18 d0 19 33 d3 0e 34 d0 08 34 e4 08 .:.c.5..!.D....a.x.....3..4..4..
95e0 0a 8f 08 89 08 90 11 98 14 a0 51 d4 08 27 a8 23 d1 08 2d 80 41 d8 0c 10 90 31 89 48 88 3b 98 11 ..........Q..'.#..-.A....1.H.;..
9600 9f 17 99 17 d1 0b 20 80 44 d8 0b 0c 8f 37 89 37 80 44 dc 08 0a 8f 08 89 08 90 14 98 54 d4 08 22 ........D....7.7.D..........T.."
9620 80 41 d8 0b 0c 88 71 89 35 90 31 89 39 80 41 80 61 81 44 d8 07 0b 88 61 82 78 d8 0f 10 88 01 88 .A....q.5.1.9.A.a.D....a.x......
9640 21 89 04 dc 11 16 90 71 98 24 a0 11 99 28 d3 11 23 f2 00 01 09 20 88 41 d8 13 14 90 51 98 11 91 !......q.$...(..#......A....Q...
9660 55 91 38 98 61 91 3c 88 41 88 61 8a 44 f0 03 01 09 20 e4 0b 0d 8f 3b 89 3b 90 71 98 21 98 52 d3 U.8.a.<.A.a.D.........;.;.q.!.R.
9680 0b 20 d0 04 20 72 29 00 00 00 63 03 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 05 00 00 00 03 00 00 00 f3 .....r)...c.....................
96a0 48 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 H.....t.........j...............
96c0 00 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 66 02 7c 00 7c 01 66 02 ....t.........t.........f.|.|.f.
96e0 7c 02 ab 03 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 61 25 0a 00 00 50 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e 64 65 72 |.........S.).a%...Pseudo-Vander
9700 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 67 69 76 65 6e 20 64 65 67 72 65 65 73 2e 0a 0a monde.matrix.of.given.degrees...
9720 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 70 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e ....Returns.the.pseudo-Vandermon
9740 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 65 67 72 65 65 73 20 60 64 65 67 60 20 61 6e 64 20 73 de.matrix.of.degrees.`deg`.and.s
9760 61 6d 70 6c 65 0a 20 20 20 20 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 28 78 2c 20 79 29 60 60 2e 20 54 68 65 ample.....points.``(x,.y)``..The
9780 20 70 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 69 73 20 64 65 .pseudo-Vandermonde.matrix.is.de
97a0 66 69 6e 65 64 20 62 79 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 56 5b 2e 2e 2e 2c 20 28 fined.by.........math::.V[...,.(
97c0 64 65 67 5b 31 5d 20 2b 20 31 29 2a 69 20 2b 20 6a 5d 20 3d 20 78 5e 69 20 2a 20 79 5e 6a 2c 0a deg[1].+.1)*i.+.j].=.x^i.*.y^j,.
97e0 0a 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 60 60 30 20 3c 3d 20 69 20 3c 3d 20 64 65 67 5b 30 5d 60 60 20 .....where.``0.<=.i.<=.deg[0]``.
9800 61 6e 64 20 60 60 30 20 3c 3d 20 6a 20 3c 3d 20 64 65 67 5b 31 5d 60 60 2e 20 54 68 65 20 6c 65 and.``0.<=.j.<=.deg[1]``..The.le
9820 61 64 69 6e 67 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 6f 66 0a 20 20 20 20 60 56 60 20 69 6e 64 65 78 20 74 ading.indices.of.....`V`.index.t
9840 68 65 20 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 28 78 2c 20 79 29 60 60 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 6c 61 73 he.points.``(x,.y)``.and.the.las
9860 74 20 69 6e 64 65 78 20 65 6e 63 6f 64 65 73 20 74 68 65 20 70 6f 77 65 72 73 20 6f 66 0a 20 20 t.index.encodes.the.powers.of...
9880 20 20 60 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 60 56 20 3d 20 70 6f 6c ..`x`.and.`y`.......If.``V.=.pol
98a0 79 76 61 6e 64 65 72 32 64 28 78 2c 20 79 2c 20 5b 78 64 65 67 2c 20 79 64 65 67 5d 29 60 60 2c yvander2d(x,.y,.[xdeg,.ydeg])``,
98c0 20 74 68 65 6e 20 74 68 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 60 56 60 0a 20 20 20 20 63 6f 72 .then.the.columns.of.`V`.....cor
98e0 72 65 73 70 6f 6e 64 20 74 6f 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 20 61 20 32 2d 44 respond.to.the.elements.of.a.2-D
9900 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 61 72 72 61 79 20 60 63 60 20 6f 66 20 73 68 61 70 65 0a .coefficient.array.`c`.of.shape.
9920 20 20 20 20 28 78 64 65 67 20 2b 20 31 2c 20 79 64 65 67 20 2b 20 31 29 20 69 6e 20 74 68 65 20 ....(xdeg.+.1,.ydeg.+.1).in.the.
9940 6f 72 64 65 72 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 63 5f 7b 30 30 7d 2c 20 63 5f 7b order.........math::.c_{00},.c_{
9960 30 31 7d 2c 20 63 5f 7b 30 32 7d 20 2e 2e 2e 20 2c 20 63 5f 7b 31 30 7d 2c 20 63 5f 7b 31 31 7d 01},.c_{02}.....,.c_{10},.c_{11}
9980 2c 20 63 5f 7b 31 32 7d 20 2e 2e 2e 0a 0a 20 20 20 20 61 6e 64 20 60 60 6e 70 2e 64 6f 74 28 56 ,.c_{12}..........and.``np.dot(V
99a0 2c 20 63 2e 66 6c 61 74 29 60 60 20 61 6e 64 20 60 60 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 28 78 2c 20 79 ,.c.flat)``.and.``polyval2d(x,.y
99c0 2c 20 63 29 60 60 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 0a 20 20 20 20 75 70 20 74 ,.c)``.will.be.the.same.....up.t
99e0 6f 20 72 6f 75 6e 64 6f 66 66 2e 20 54 68 69 73 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 63 65 20 69 73 20 o.roundoff..This.equivalence.is.
9a00 75 73 65 66 75 6c 20 62 6f 74 68 20 66 6f 72 20 6c 65 61 73 74 20 73 71 75 61 72 65 73 0a 20 20 useful.both.for.least.squares...
9a20 20 20 66 69 74 74 69 6e 67 20 61 6e 64 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 6f 6e ..fitting.and.for.the.evaluation
9a40 20 6f 66 20 61 20 6c 61 72 67 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 32 2d 44 20 70 6f 6c 79 6e 6f .of.a.large.number.of.2-D.polyno
9a60 6d 69 61 6c 73 0a 20 20 20 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 64 65 67 72 65 65 73 20 61 6e mials.....of.the.same.degrees.an
9a80 64 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f 69 6e 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 d.sample.points.......Parameters
9aa0 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 78 2c 20 79 20 3a 20 61 72 72 61 79 .....----------.....x,.y.:.array
9ac0 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 61 79 73 20 6f 66 20 70 6f 69 6e 74 20 63 6f _like.........Arrays.of.point.co
9ae0 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 2c 20 61 6c 6c 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 73 68 61 70 65 ordinates,.all.of.the.same.shape
9b00 2e 20 54 68 65 20 64 74 79 70 65 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 63 6f 6e ..The.dtypes.........will.be.con
9b20 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 65 69 74 68 65 72 20 66 6c 6f 61 74 36 34 20 6f 72 20 63 6f 6d 70 verted.to.either.float64.or.comp
9b40 6c 65 78 31 32 38 20 64 65 70 65 6e 64 69 6e 67 20 6f 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 77 68 65 74 lex128.depending.on.........whet
9b60 68 65 72 20 61 6e 79 20 6f 66 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 63 6f 6d 70 her.any.of.the.elements.are.comp
9b80 6c 65 78 2e 20 53 63 61 6c 61 72 73 20 61 72 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 0a 20 20 lex..Scalars.are.converted.to...
9ba0 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 73 2e 0a 20 20 20 20 64 65 67 20 3a 20 6c 69 73 74 ......1-D.arrays......deg.:.list
9bc0 20 6f 66 20 69 6e 74 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 4c 69 73 74 20 6f 66 20 6d 61 78 69 6d 75 6d .of.ints.........List.of.maximum
9be0 20 64 65 67 72 65 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 66 6f 72 6d 20 5b 78 5f 64 65 67 2c 20 79 5f 64 .degrees.of.the.form.[x_deg,.y_d
9c00 65 67 5d 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 eg].......Returns.....-------...
9c20 20 20 76 61 6e 64 65 72 32 64 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 ..vander2d.:.ndarray.........The
9c40 20 73 68 61 70 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6d 61 74 72 69 78 20 69 73 .shape.of.the.returned.matrix.is
9c60 20 60 60 78 2e 73 68 61 70 65 20 2b 20 28 6f 72 64 65 72 2c 29 60 60 2c 20 77 68 65 72 65 0a 20 .``x.shape.+.(order,)``,.where..
9c80 20 20 20 20 20 20 20 3a 6d 61 74 68 3a 60 6f 72 64 65 72 20 3d 20 28 64 65 67 5b 30 5d 2b 31 29 .......:math:`order.=.(deg[0]+1)
9ca0 2a 28 64 65 67 28 5b 31 5d 2b 31 29 60 2e 20 20 54 68 65 20 64 74 79 70 65 20 77 69 6c 6c 20 62 *(deg([1]+1)`...The.dtype.will.b
9cc0 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 73 20 74 68 65 20 63 6f 6e 76 65 72 e.the.same.........as.the.conver
9ce0 74 65 64 20 60 78 60 20 61 6e 64 20 60 79 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 ted.`x`.and.`y`.......See.Also..
9d00 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 2c 20 70 6f 6c 79 ...--------.....polyvander,.poly
9d20 76 61 6e 64 65 72 33 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 0a 0a vander3d,.polyval2d,.polyval3d..
9d40 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e ....Examples.....--------.....>>
9d60 3e 20 69 6d 70 6f 72 74 20 6e 75 6d 70 79 20 61 73 20 6e 70 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 32 2d >.import.numpy.as.np......The.2-
9d80 44 20 70 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 D.pseudo-Vandermonde.matrix.of.d
9da0 65 67 72 65 65 20 60 60 5b 31 2c 20 32 5d 60 60 20 61 6e 64 20 73 61 6d 70 6c 65 0a 20 20 20 20 egree.``[1,.2]``.and.sample.....
9dc0 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 78 20 3d 20 5b 2d 31 2c 20 32 5d 60 60 20 61 6e 64 20 60 60 79 20 3d points.``x.=.[-1,.2]``.and.``y.=
9de0 20 5b 31 2c 20 33 5d 60 60 20 69 73 20 61 73 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 3a 0a 0a 20 20 20 20 3e 3e .[1,.3]``.is.as.follows:......>>
9e00 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 >.from.numpy.polynomial.import.p
9e20 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 78 20 3d 20 6e 70 2e 61 72 olynomial.as.P.....>>>.x.=.np.ar
9e40 72 61 79 28 5b 2d 31 2c 20 32 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 79 20 3d 20 6e 70 2e 61 72 72 61 ray([-1,.2]).....>>>.y.=.np.arra
9e60 79 28 5b 31 2c 20 33 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 6d 2c 20 6e 20 3d 20 31 2c 20 32 0a 20 20 y([1,.3]).....>>>.m,.n.=.1,.2...
9e80 20 20 3e 3e 3e 20 64 65 67 20 3d 20 6e 70 2e 61 72 72 61 79 28 5b 6d 2c 20 6e 5d 29 0a 20 20 20 ..>>>.deg.=.np.array([m,.n])....
9ea0 20 3e 3e 3e 20 56 20 3d 20 50 2e 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 32 64 28 78 3d 78 2c 20 79 3d 79 .>>>.V.=.P.polyvander2d(x=x,.y=y
9ec0 2c 20 64 65 67 3d 64 65 67 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 56 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b ,.deg=deg).....>>>.V.....array([
9ee0 5b 20 31 2e 2c 20 20 31 2e 2c 20 20 31 2e 2c 20 2d 31 2e 2c 20 2d 31 2e 2c 20 2d 31 2e 5d 2c 0a [.1.,..1.,..1.,.-1.,.-1.,.-1.],.
9f00 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 20 31 2e 2c 20 20 33 2e 2c 20 20 39 2e 2c 20 20 32 2e 2c 20 ...........[.1.,..3.,..9.,..2.,.
9f20 20 36 2e 2c 20 31 38 2e 5d 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 57 65 20 63 61 6e 20 76 65 72 69 66 79 20 74 .6.,.18.]])......We.can.verify.t
9f40 68 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 66 6f 72 20 61 6e 79 20 60 60 30 20 3c 3d 20 69 20 3c 3d 20 6d he.columns.for.any.``0.<=.i.<=.m
9f60 60 60 20 61 6e 64 20 60 60 30 20 3c 3d 20 6a 20 3c 3d 20 6e 60 60 3a 0a 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e ``.and.``0.<=.j.<=.n``:......>>>
9f80 20 69 2c 20 6a 20 3d 20 30 2c 20 31 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 56 5b 3a 2c 20 28 64 65 67 5b 31 .i,.j.=.0,.1.....>>>.V[:,.(deg[1
9fa0 5d 2b 31 29 2a 69 20 2b 20 6a 5d 20 3d 3d 20 78 2a 2a 69 20 2a 20 79 2a 2a 6a 0a 20 20 20 20 61 ]+1)*i.+.j].==.x**i.*.y**j.....a
9fc0 72 72 61 79 28 5b 20 54 72 75 65 2c 20 20 54 72 75 65 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 28 31 rray([.True,..True])......The.(1
9fe0 44 29 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 73 61 6d 70 6c 65 20 D).Vandermonde.matrix.of.sample.
a000 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 78 60 60 20 61 6e 64 20 64 65 67 72 65 65 20 60 60 6d 60 60 20 69 73 points.``x``.and.degree.``m``.is
a020 20 61 0a 20 20 20 20 73 70 65 63 69 61 6c 20 63 61 73 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 28 32 44 29 20 .a.....special.case.of.the.(2D).
a040 70 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 77 69 74 68 20 60 pseudo-Vandermonde.matrix.with.`
a060 60 79 60 60 20 70 6f 69 6e 74 73 20 61 6c 6c 0a 20 20 20 20 7a 65 72 6f 20 61 6e 64 20 64 65 67 `y``.points.all.....zero.and.deg
a080 72 65 65 20 60 60 5b 6d 2c 20 30 5d 60 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 76 ree.``[m,.0]``.......>>>.P.polyv
a0a0 61 6e 64 65 72 32 64 28 78 3d 78 2c 20 79 3d 30 2a 78 2c 20 64 65 67 3d 28 6d 2c 20 30 29 29 20 ander2d(x=x,.y=0*x,.deg=(m,.0)).
a0c0 3d 3d 20 50 2e 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 28 78 3d 78 2c 20 64 65 67 3d 6d 29 0a 20 20 20 20 ==.P.polyvander(x=x,.deg=m).....
a0e0 61 72 72 61 79 28 5b 5b 20 54 72 75 65 2c 20 20 54 72 75 65 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 array([[.True,..True],..........
a100 20 20 5b 20 54 72 75 65 2c 20 20 54 72 75 65 5d 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 a9 03 72 2b 00 00 00 da ..[.True,..True]])........r+....
a120 0f 5f 76 61 6e 64 65 72 5f 6e 64 5f 66 6c 61 74 72 12 00 00 00 29 03 72 71 00 00 00 72 7d 00 00 ._vander_nd_flatr....).rq...r}..
a140 00 72 86 00 00 00 73 03 00 00 00 20 20 20 72 28 00 00 00 72 1b 00 00 00 72 1b 00 00 00 6c 04 00 .r....s.......r(...r....r....l..
a160 00 73 23 00 00 00 80 00 f4 58 02 00 0c 0e d7 0b 1d d1 0b 1d 9c 7a ac 3a d0 1e 36 b8 11 b8 41 b8 .s#......X...........z.:..6...A.
a180 06 c0 03 d3 0b 44 d0 04 44 72 29 00 00 00 63 04 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 06 00 00 00 03 .....D..Dr)...c.................
a1a0 00 00 00 f3 54 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ....T.....t.........j...........
a1c0 00 00 00 00 00 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 74 04 00 00 ........t.........t.........t...
a1e0 00 00 00 00 00 00 66 03 7c 00 7c 01 7c 02 66 03 7c 03 ab 03 00 00 00 00 00 00 53 00 29 01 61 9e ......f.|.|.|.f.|.........S.).a.
a200 0a 00 00 50 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 ...Pseudo-Vandermonde.matrix.of.
a220 67 69 76 65 6e 20 64 65 67 72 65 65 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 20 74 68 65 20 given.degrees.......Returns.the.
a240 70 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 65 67 pseudo-Vandermonde.matrix.of.deg
a260 72 65 65 73 20 60 64 65 67 60 20 61 6e 64 20 73 61 6d 70 6c 65 0a 20 20 20 20 70 6f 69 6e 74 73 rees.`deg`.and.sample.....points
a280 20 60 60 28 78 2c 20 79 2c 20 7a 29 60 60 2e 20 49 66 20 60 6c 60 2c 20 60 6d 60 2c 20 60 6e 60 .``(x,.y,.z)``..If.`l`,.`m`,.`n`
a2a0 20 61 72 65 20 74 68 65 20 67 69 76 65 6e 20 64 65 67 72 65 65 73 20 69 6e 20 60 78 60 2c 20 60 .are.the.given.degrees.in.`x`,.`
a2c0 79 60 2c 20 60 7a 60 2c 0a 20 20 20 20 74 68 65 6e 20 54 68 65 20 70 73 65 75 64 6f 2d 56 61 6e y`,.`z`,.....then.The.pseudo-Van
a2e0 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 69 73 20 64 65 66 69 6e 65 64 20 62 79 0a 0a 20 dermonde.matrix.is.defined.by...
a300 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 56 5b 2e 2e 2e 2c 20 28 6d 2b 31 29 28 6e 2b 31 29 69 20 ......math::.V[...,.(m+1)(n+1)i.
a320 2b 20 28 6e 2b 31 29 6a 20 2b 20 6b 5d 20 3d 20 78 5e 69 20 2a 20 79 5e 6a 20 2a 20 7a 5e 6b 2c +.(n+1)j.+.k].=.x^i.*.y^j.*.z^k,
a340 0a 0a 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 60 60 30 20 3c 3d 20 69 20 3c 3d 20 6c 60 60 2c 20 60 60 30 ......where.``0.<=.i.<=.l``,.``0
a360 20 3c 3d 20 6a 20 3c 3d 20 6d 60 60 2c 20 61 6e 64 20 60 60 30 20 3c 3d 20 6a 20 3c 3d 20 6e 60 .<=.j.<=.m``,.and.``0.<=.j.<=.n`
a380 60 2e 20 20 54 68 65 20 6c 65 61 64 69 6e 67 0a 20 20 20 20 69 6e 64 69 63 65 73 20 6f 66 20 60 `...The.leading.....indices.of.`
a3a0 56 60 20 69 6e 64 65 78 20 74 68 65 20 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 28 78 2c 20 79 2c 20 7a 29 60 V`.index.the.points.``(x,.y,.z)`
a3c0 60 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 6c 61 73 74 20 69 6e 64 65 78 20 65 6e 63 6f 64 65 73 0a 20 20 20 `.and.the.last.index.encodes....
a3e0 20 74 68 65 20 70 6f 77 65 72 73 20 6f 66 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 60 7a 60 .the.powers.of.`x`,.`y`,.and.`z`
a400 2e 0a 0a 20 20 20 20 49 66 20 60 60 56 20 3d 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 33 64 28 78 2c 20 .......If.``V.=.polyvander3d(x,.
a420 79 2c 20 7a 2c 20 5b 78 64 65 67 2c 20 79 64 65 67 2c 20 7a 64 65 67 5d 29 60 60 2c 20 74 68 65 y,.z,.[xdeg,.ydeg,.zdeg])``,.the
a440 6e 20 74 68 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 0a 20 20 20 20 6f 66 20 60 56 60 20 63 6f 72 72 65 73 70 n.the.columns.....of.`V`.corresp
a460 6f 6e 64 20 74 6f 20 74 68 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 20 61 20 33 2d 44 20 63 6f 65 ond.to.the.elements.of.a.3-D.coe
a480 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 61 72 72 61 79 20 60 63 60 20 6f 66 0a 20 20 20 20 73 68 61 70 65 20 fficient.array.`c`.of.....shape.
a4a0 28 78 64 65 67 20 2b 20 31 2c 20 79 64 65 67 20 2b 20 31 2c 20 7a 64 65 67 20 2b 20 31 29 20 69 (xdeg.+.1,.ydeg.+.1,.zdeg.+.1).i
a4c0 6e 20 74 68 65 20 6f 72 64 65 72 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 63 5f 7b 30 30 n.the.order.........math::.c_{00
a4e0 30 7d 2c 20 63 5f 7b 30 30 31 7d 2c 20 63 5f 7b 30 30 32 7d 2c 2e 2e 2e 20 2c 20 63 5f 7b 30 31 0},.c_{001},.c_{002},....,.c_{01
a500 30 7d 2c 20 63 5f 7b 30 31 31 7d 2c 20 63 5f 7b 30 31 32 7d 2c 2e 2e 2e 0a 0a 20 20 20 20 61 6e 0},.c_{011},.c_{012},.........an
a520 64 20 20 60 60 6e 70 2e 64 6f 74 28 56 2c 20 63 2e 66 6c 61 74 29 60 60 20 61 6e 64 20 60 60 70 d..``np.dot(V,.c.flat)``.and.``p
a540 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 28 78 2c 20 79 2c 20 7a 2c 20 63 29 60 60 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 74 olyval3d(x,.y,.z,.c)``.will.be.t
a560 68 65 0a 20 20 20 20 73 61 6d 65 20 75 70 20 74 6f 20 72 6f 75 6e 64 6f 66 66 2e 20 54 68 69 73 he.....same.up.to.roundoff..This
a580 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 63 65 20 69 73 20 75 73 65 66 75 6c 20 62 6f 74 68 20 66 6f 72 20 .equivalence.is.useful.both.for.
a5a0 6c 65 61 73 74 20 73 71 75 61 72 65 73 0a 20 20 20 20 66 69 74 74 69 6e 67 20 61 6e 64 20 66 6f least.squares.....fitting.and.fo
a5c0 72 20 74 68 65 20 65 76 61 6c 75 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 61 20 6c 61 72 67 65 20 6e 75 6d 62 r.the.evaluation.of.a.large.numb
a5e0 65 72 20 6f 66 20 33 2d 44 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 0a 20 20 20 20 6f 66 20 74 68 65 er.of.3-D.polynomials.....of.the
a600 20 73 61 6d 65 20 64 65 67 72 65 65 73 20 61 6e 64 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f 69 6e 74 73 2e .same.degrees.and.sample.points.
a620 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a ......Parameters.....----------.
a640 20 20 20 20 78 2c 20 79 2c 20 7a 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 ....x,.y,.z.:.array_like........
a660 20 41 72 72 61 79 73 20 6f 66 20 70 6f 69 6e 74 20 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 2c 20 61 6c .Arrays.of.point.coordinates,.al
a680 6c 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 73 68 61 70 65 2e 20 54 68 65 20 64 74 79 70 65 73 20 l.of.the.same.shape..The.dtypes.
a6a0 77 69 6c 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 62 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 65 69 74 will.........be.converted.to.eit
a6c0 68 65 72 20 66 6c 6f 61 74 36 34 20 6f 72 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 31 32 38 20 64 65 70 65 6e 64 her.float64.or.complex128.depend
a6e0 69 6e 67 20 6f 6e 20 77 68 65 74 68 65 72 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 6e 79 20 6f 66 20 74 68 ing.on.whether.........any.of.th
a700 65 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 2e 20 53 63 61 6c 61 72 73 20 e.elements.are.complex..Scalars.
a720 61 72 65 20 63 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 74 6f 20 31 2d 44 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 72 72 are.converted.to.1-D.........arr
a740 61 79 73 2e 0a 20 20 20 20 64 65 67 20 3a 20 6c 69 73 74 20 6f 66 20 69 6e 74 73 0a 20 20 20 20 ays......deg.:.list.of.ints.....
a760 20 20 20 20 4c 69 73 74 20 6f 66 20 6d 61 78 69 6d 75 6d 20 64 65 67 72 65 65 73 20 6f 66 20 74 ....List.of.maximum.degrees.of.t
a780 68 65 20 66 6f 72 6d 20 5b 78 5f 64 65 67 2c 20 79 5f 64 65 67 2c 20 7a 5f 64 65 67 5d 2e 0a 0a he.form.[x_deg,.y_deg,.z_deg]...
a7a0 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 76 61 6e 64 ....Returns.....-------.....vand
a7c0 65 72 33 64 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 73 68 61 70 65 er3d.:.ndarray.........The.shape
a7e0 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6d 61 74 72 69 78 20 69 73 20 60 60 78 2e 73 .of.the.returned.matrix.is.``x.s
a800 68 61 70 65 20 2b 20 28 6f 72 64 65 72 2c 29 60 60 2c 20 77 68 65 72 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 hape.+.(order,)``,.where........
a820 20 3a 6d 61 74 68 3a 60 6f 72 64 65 72 20 3d 20 28 64 65 67 5b 30 5d 2b 31 29 2a 28 64 65 67 28 .:math:`order.=.(deg[0]+1)*(deg(
a840 5b 31 5d 2b 31 29 2a 28 64 65 67 5b 32 5d 2b 31 29 60 2e 20 20 54 68 65 20 64 74 79 70 65 20 77 [1]+1)*(deg[2]+1)`...The.dtype.w
a860 69 6c 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 62 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 61 73 20 74 68 65 20 63 ill.........be.the.same.as.the.c
a880 6f 6e 76 65 72 74 65 64 20 60 78 60 2c 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 60 7a 60 2e 0a 0a 20 20 20 onverted.`x`,.`y`,.and.`z`......
a8a0 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 .See.Also.....--------.....polyv
a8c0 61 6e 64 65 72 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 33 64 2c 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 32 64 2c 20 ander,.polyvander3d,.polyval2d,.
a8e0 70 6f 6c 79 76 61 6c 33 64 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d polyval3d......Examples.....----
a900 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 69 6d 70 6f 72 74 20 6e 75 6d 70 79 20 61 73 20 6e 70 0a ----.....>>>.import.numpy.as.np.
a920 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d ....>>>.from.numpy.polynomial.im
a940 70 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 78 20 3d port.polynomial.as.P.....>>>.x.=
a960 20 6e 70 2e 61 73 61 72 72 61 79 28 5b 2d 31 2c 20 32 2c 20 31 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 .np.asarray([-1,.2,.1]).....>>>.
a980 79 20 3d 20 6e 70 2e 61 73 61 72 72 61 79 28 5b 31 2c 20 2d 32 2c 20 2d 33 5d 29 0a 20 20 20 20 y.=.np.asarray([1,.-2,.-3]).....
a9a0 3e 3e 3e 20 7a 20 3d 20 6e 70 2e 61 73 61 72 72 61 79 28 5b 32 2c 20 32 2c 20 35 5d 29 0a 20 20 >>>.z.=.np.asarray([2,.2,.5])...
a9c0 20 20 3e 3e 3e 20 6c 2c 20 6d 2c 20 6e 20 3d 20 5b 32 2c 20 32 2c 20 31 5d 0a 20 20 20 20 3e 3e ..>>>.l,.m,.n.=.[2,.2,.1].....>>
a9e0 3e 20 64 65 67 20 3d 20 5b 6c 2c 20 6d 2c 20 6e 5d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 56 20 3d 20 50 2e >.deg.=.[l,.m,.n].....>>>.V.=.P.
aa00 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 33 64 28 78 3d 78 2c 20 79 3d 79 2c 20 7a 3d 7a 2c 20 64 65 67 3d polyvander3d(x=x,.y=y,.z=z,.deg=
aa20 64 65 67 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 56 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 20 20 31 2e 2c deg).....>>>.V.....array([[..1.,
aa40 20 20 20 32 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 20 32 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 20 32 2e 2c 20 20 ...2.,...1.,...2.,...1.,...2.,..
aa60 2d 31 2e 2c 20 20 2d 32 2e 2c 20 20 2d 31 2e 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 2d 32 -1.,..-2.,..-1.,..............-2
aa80 2e 2c 20 20 2d 31 2e 2c 20 20 2d 32 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 20 32 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c .,..-1.,..-2.,...1.,...2.,...1.,
aaa0 20 20 20 32 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 20 32 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b ...2.,...1.,...2.],............[
aac0 20 20 31 2e 2c 20 20 20 32 2e 2c 20 20 2d 32 2e 2c 20 20 2d 34 2e 2c 20 20 20 34 2e 2c 20 20 20 ..1.,...2.,..-2.,..-4.,...4.,...
aae0 38 2e 2c 20 20 20 32 2e 2c 20 20 20 34 2e 2c 20 20 2d 34 2e 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 8.,...2.,...4.,..-4.,...........
ab00 20 20 20 2d 38 2e 2c 20 20 20 38 2e 2c 20 20 31 36 2e 2c 20 20 20 34 2e 2c 20 20 20 38 2e 2c 20 ...-8.,...8.,..16.,...4.,...8.,.
ab20 20 2d 38 2e 2c 20 2d 31 36 2e 2c 20 20 31 36 2e 2c 20 20 33 32 2e 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 .-8.,.-16.,..16.,..32.],........
ab40 20 20 20 20 5b 20 20 31 2e 2c 20 20 20 35 2e 2c 20 20 2d 33 2e 2c 20 2d 31 35 2e 2c 20 20 20 39 ....[..1.,...5.,..-3.,.-15.,...9
ab60 2e 2c 20 20 34 35 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 20 35 2e 2c 20 20 2d 33 2e 2c 0a 20 20 20 20 20 .,..45.,...1.,...5.,..-3.,......
ab80 20 20 20 20 20 20 20 2d 31 35 2e 2c 20 20 20 39 2e 2c 20 20 34 35 2e 2c 20 20 20 31 2e 2c 20 20 .......-15.,...9.,..45.,...1.,..
aba0 20 35 2e 2c 20 20 2d 33 2e 2c 20 2d 31 35 2e 2c 20 20 20 39 2e 2c 20 20 34 35 2e 5d 5d 29 0a 0a .5.,..-3.,.-15.,...9.,..45.]])..
abc0 20 20 20 20 57 65 20 63 61 6e 20 76 65 72 69 66 79 20 74 68 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 66 6f ....We.can.verify.the.columns.fo
abe0 72 20 61 6e 79 20 60 60 30 20 3c 3d 20 69 20 3c 3d 20 6c 60 60 2c 20 60 60 30 20 3c 3d 20 6a 20 r.any.``0.<=.i.<=.l``,.``0.<=.j.
ac00 3c 3d 20 6d 60 60 2c 0a 20 20 20 20 61 6e 64 20 60 60 30 20 3c 3d 20 6b 20 3c 3d 20 6e 60 60 0a <=.m``,.....and.``0.<=.k.<=.n``.
ac20 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 69 2c 20 6a 2c 20 6b 20 3d 20 32 2c 20 31 2c 20 30 0a 20 20 20 20 3e .....>>>.i,.j,.k.=.2,.1,.0.....>
ac40 3e 3e 20 56 5b 3a 2c 20 28 6d 2b 31 29 2a 28 6e 2b 31 29 2a 69 20 2b 20 28 6e 2b 31 29 2a 6a 20 >>.V[:,.(m+1)*(n+1)*i.+.(n+1)*j.
ac60 2b 20 6b 5d 20 3d 3d 20 78 2a 2a 69 20 2a 20 79 2a 2a 6a 20 2a 20 7a 2a 2a 6b 0a 20 20 20 20 61 +.k].==.x**i.*.y**j.*.z**k.....a
ac80 72 72 61 79 28 5b 20 54 72 75 65 2c 20 20 54 72 75 65 2c 20 20 54 72 75 65 5d 29 0a 0a 20 20 20 rray([.True,..True,..True]).....
aca0 20 72 8c 00 00 00 29 04 72 71 00 00 00 72 7d 00 00 00 72 83 00 00 00 72 86 00 00 00 73 04 00 00 .r....).rq...r}...r....r....s...
acc0 00 20 20 20 20 72 28 00 00 00 72 1c 00 00 00 72 1c 00 00 00 bb 04 00 00 73 27 00 00 00 80 00 f4 .....r(...r....r........s'......
ace0 4e 02 00 0c 0e d7 0b 1d d1 0b 1d 9c 7a ac 3a b4 7a d0 1e 42 c0 51 c8 01 c8 31 c0 49 c8 73 d3 0b N...........z.:.z..B.Q...1.I.s..
ad00 53 d0 04 53 72 29 00 00 00 63 06 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 09 00 00 00 03 00 00 00 f3 40 S..Sr)...c.....................@
ad20 00 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .....t.........j................
ad40 00 00 00 74 04 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 7c 01 7c 02 7c 03 7c 04 7c 05 ab 07 00 00 00 00 00 ...t.........|.|.|.|.|.|........
ad60 00 53 00 29 01 61 0c 1a 00 00 0a 20 20 20 20 4c 65 61 73 74 2d 73 71 75 61 72 65 73 20 66 69 74 .S.).a.........Least-squares.fit
ad80 20 6f 66 20 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 74 6f 20 64 61 74 61 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 .of.a.polynomial.to.data.......R
ada0 65 74 75 72 6e 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 66 20 61 20 70 6f 6c 79 eturn.the.coefficients.of.a.poly
adc0 6e 6f 6d 69 61 6c 20 6f 66 20 64 65 67 72 65 65 20 60 64 65 67 60 20 74 68 61 74 20 69 73 20 74 nomial.of.degree.`deg`.that.is.t
ade0 68 65 0a 20 20 20 20 6c 65 61 73 74 20 73 71 75 61 72 65 73 20 66 69 74 20 74 6f 20 74 68 65 20 he.....least.squares.fit.to.the.
ae00 64 61 74 61 20 76 61 6c 75 65 73 20 60 79 60 20 67 69 76 65 6e 20 61 74 20 70 6f 69 6e 74 73 20 data.values.`y`.given.at.points.
ae20 60 78 60 2e 20 49 66 20 60 79 60 20 69 73 0a 20 20 20 20 31 2d 44 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 `x`..If.`y`.is.....1-D.the.retur
ae40 6e 65 64 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 77 69 6c 6c 20 61 6c 73 6f 20 62 65 20 31 2d ned.coefficients.will.also.be.1-
ae60 44 2e 20 49 66 20 60 79 60 20 69 73 20 32 2d 44 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 0a 20 20 20 20 66 69 D..If.`y`.is.2-D.multiple.....fi
ae80 74 73 20 61 72 65 20 64 6f 6e 65 2c 20 6f 6e 65 20 66 6f 72 20 65 61 63 68 20 63 6f 6c 75 6d 6e ts.are.done,.one.for.each.column
aea0 20 6f 66 20 60 79 60 2c 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 69 6e 67 0a 20 20 20 20 63 .of.`y`,.and.the.resulting.....c
aec0 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 73 74 6f 72 65 64 20 69 6e 20 74 68 65 20 63 6f oefficients.are.stored.in.the.co
aee0 72 72 65 73 70 6f 6e 64 69 6e 67 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 61 20 32 2d 44 20 72 65 74 rresponding.columns.of.a.2-D.ret
af00 75 72 6e 2e 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 66 69 74 74 65 64 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 28 73 urn......The.fitted.polynomial(s
af20 29 20 61 72 65 20 69 6e 20 74 68 65 20 66 6f 72 6d 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a ).are.in.the.form.........math::
af40 20 20 70 28 78 29 20 3d 20 63 5f 30 20 2b 20 63 5f 31 20 2a 20 78 20 2b 20 2e 2e 2e 20 2b 20 63 ..p(x).=.c_0.+.c_1.*.x.+.....+.c
af60 5f 6e 20 2a 20 78 5e 6e 2c 0a 0a 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 60 6e 60 20 69 73 20 60 64 65 67 _n.*.x^n,......where.`n`.is.`deg
af80 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d `.......Parameters.....---------
afa0 2d 0a 20 20 20 20 78 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 73 68 61 70 65 20 28 60 4d 60 -.....x.:.array_like,.shape.(`M`
afc0 2c 29 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 78 2d 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 ,).........x-coordinates.of.the.
afe0 60 4d 60 20 73 61 6d 70 6c 65 20 28 64 61 74 61 29 20 70 6f 69 6e 74 73 20 60 60 28 78 5b 69 5d `M`.sample.(data).points.``(x[i]
b000 2c 20 79 5b 69 5d 29 60 60 2e 0a 20 20 20 20 79 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 73 ,.y[i])``......y.:.array_like,.s
b020 68 61 70 65 20 28 60 4d 60 2c 29 20 6f 72 20 28 60 4d 60 2c 20 60 4b 60 29 0a 20 20 20 20 20 20 hape.(`M`,).or.(`M`,.`K`).......
b040 20 20 79 2d 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f ..y-coordinates.of.the.sample.po
b060 69 6e 74 73 2e 20 20 53 65 76 65 72 61 6c 20 73 65 74 73 20 6f 66 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f ints...Several.sets.of.sample.po
b080 69 6e 74 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 73 68 61 72 69 6e 67 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 78 2d ints.........sharing.the.same.x-
b0a0 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 20 63 61 6e 20 62 65 20 28 69 6e 64 65 70 65 6e 64 65 6e 74 6c coordinates.can.be.(independentl
b0c0 79 29 20 66 69 74 20 77 69 74 68 20 6f 6e 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 63 61 6c 6c 20 74 6f 20 y).fit.with.one.........call.to.
b0e0 60 70 6f 6c 79 66 69 74 60 20 62 79 20 70 61 73 73 69 6e 67 20 69 6e 20 66 6f 72 20 60 79 60 20 `polyfit`.by.passing.in.for.`y`.
b100 61 20 32 2d 44 20 61 72 72 61 79 20 74 68 61 74 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 73 0a 20 20 20 20 20 20 a.2-D.array.that.contains.......
b120 20 20 6f 6e 65 20 64 61 74 61 20 73 65 74 20 70 65 72 20 63 6f 6c 75 6d 6e 2e 0a 20 20 20 20 64 ..one.data.set.per.column......d
b140 65 67 20 3a 20 69 6e 74 20 6f 72 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 eg.:.int.or.1-D.array_like......
b160 20 20 20 44 65 67 72 65 65 28 73 29 20 6f 66 20 74 68 65 20 66 69 74 74 69 6e 67 20 70 6f 6c 79 ...Degree(s).of.the.fitting.poly
b180 6e 6f 6d 69 61 6c 73 2e 20 49 66 20 60 64 65 67 60 20 69 73 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 69 6e nomials..If.`deg`.is.a.single.in
b1a0 74 65 67 65 72 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 61 6c 6c 20 74 65 72 6d 73 20 75 70 20 74 6f 20 61 6e teger.........all.terms.up.to.an
b1c0 64 20 69 6e 63 6c 75 64 69 6e 67 20 74 68 65 20 60 64 65 67 60 27 74 68 20 74 65 72 6d 20 61 72 d.including.the.`deg`'th.term.ar
b1e0 65 20 69 6e 63 6c 75 64 65 64 20 69 6e 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 66 69 74 2e 20 46 e.included.in.the.........fit..F
b200 6f 72 20 4e 75 6d 50 79 20 76 65 72 73 69 6f 6e 73 20 3e 3d 20 31 2e 31 31 2e 30 20 61 20 6c 69 or.NumPy.versions.>=.1.11.0.a.li
b220 73 74 20 6f 66 20 69 6e 74 65 67 65 72 73 20 73 70 65 63 69 66 79 69 6e 67 20 74 68 65 0a 20 20 st.of.integers.specifying.the...
b240 20 20 20 20 20 20 64 65 67 72 65 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 65 72 6d 73 20 74 6f 20 69 6e ......degrees.of.the.terms.to.in
b260 63 6c 75 64 65 20 6d 61 79 20 62 65 20 75 73 65 64 20 69 6e 73 74 65 61 64 2e 0a 20 20 20 20 72 clude.may.be.used.instead......r
b280 63 6f 6e 64 20 3a 20 66 6c 6f 61 74 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 52 cond.:.float,.optional.........R
b2a0 65 6c 61 74 69 76 65 20 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 74 68 65 20 elative.condition.number.of.the.
b2c0 66 69 74 2e 20 20 53 69 6e 67 75 6c 61 72 20 76 61 6c 75 65 73 20 73 6d 61 6c 6c 65 72 0a 20 20 fit...Singular.values.smaller...
b2e0 20 20 20 20 20 20 74 68 61 6e 20 60 72 63 6f 6e 64 60 2c 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 20 74 6f 20 ......than.`rcond`,.relative.to.
b300 74 68 65 20 6c 61 72 67 65 73 74 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 76 61 6c 75 65 2c 20 77 69 6c 6c the.largest.singular.value,.will
b320 20 62 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 69 67 6e 6f 72 65 64 2e 20 20 54 68 65 20 64 65 66 61 75 6c .be.........ignored...The.defaul
b340 74 20 76 61 6c 75 65 20 69 73 20 60 60 6c 65 6e 28 78 29 2a 65 70 73 60 60 2c 20 77 68 65 72 65 t.value.is.``len(x)*eps``,.where
b360 20 60 65 70 73 60 20 69 73 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 20 70 .`eps`.is.the.........relative.p
b380 72 65 63 69 73 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 6c 61 74 66 6f 72 6d 27 73 20 66 6c 6f 61 74 recision.of.the.platform's.float
b3a0 20 74 79 70 65 2c 20 61 62 6f 75 74 20 32 65 2d 31 36 20 69 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 6d 6f .type,.about.2e-16.in.........mo
b3c0 73 74 20 63 61 73 65 73 2e 0a 20 20 20 20 66 75 6c 6c 20 3a 20 62 6f 6f 6c 2c 20 6f 70 74 69 6f st.cases......full.:.bool,.optio
b3e0 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 53 77 69 74 63 68 20 64 65 74 65 72 6d 69 6e 69 6e 67 20 74 nal.........Switch.determining.t
b400 68 65 20 6e 61 74 75 72 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 65 74 75 72 6e 20 76 61 6c 75 65 2e 20 20 he.nature.of.the.return.value...
b420 57 68 65 6e 20 60 60 46 61 6c 73 65 60 60 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 28 74 68 65 20 64 65 66 61 When.``False``.........(the.defa
b440 75 6c 74 29 20 6a 75 73 74 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 61 72 65 20 72 ult).just.the.coefficients.are.r
b460 65 74 75 72 6e 65 64 3b 20 77 68 65 6e 20 60 60 54 72 75 65 60 60 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 eturned;.when.``True``,.........
b480 64 69 61 67 6e 6f 73 74 69 63 20 69 6e 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 66 72 6f 6d 20 74 68 65 20 diagnostic.information.from.the.
b4a0 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 76 61 6c 75 65 20 64 65 63 6f 6d 70 6f 73 69 74 69 6f 6e 20 28 75 73 singular.value.decomposition.(us
b4c0 65 64 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 74 6f 20 73 6f 6c 76 65 20 74 68 65 20 66 69 74 27 73 20 6d 61 ed.........to.solve.the.fit's.ma
b4e0 74 72 69 78 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 29 20 69 73 20 61 6c 73 6f 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 2e trix.equation).is.also.returned.
b500 0a 20 20 20 20 77 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 73 68 61 70 65 20 28 60 4d 60 2c .....w.:.array_like,.shape.(`M`,
b520 29 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 57 65 69 67 68 74 73 2e 20 49 66 20 ),.optional.........Weights..If.
b540 6e 6f 74 20 4e 6f 6e 65 2c 20 74 68 65 20 77 65 69 67 68 74 20 60 60 77 5b 69 5d 60 60 20 61 70 not.None,.the.weight.``w[i]``.ap
b560 70 6c 69 65 73 20 74 6f 20 74 68 65 20 75 6e 73 71 75 61 72 65 64 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 72 plies.to.the.unsquared.........r
b580 65 73 69 64 75 61 6c 20 60 60 79 5b 69 5d 20 2d 20 79 5f 68 61 74 5b 69 5d 60 60 20 61 74 20 60 esidual.``y[i].-.y_hat[i]``.at.`
b5a0 60 78 5b 69 5d 60 60 2e 20 49 64 65 61 6c 6c 79 20 74 68 65 20 77 65 69 67 68 74 73 20 61 72 65 `x[i]``..Ideally.the.weights.are
b5c0 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 63 68 6f 73 65 6e 20 73 6f 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 65 72 72 6f .........chosen.so.that.the.erro
b5e0 72 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 72 6f 64 75 63 74 73 20 60 60 77 5b 69 5d 2a 79 5b 69 5d 60 60 rs.of.the.products.``w[i]*y[i]``
b600 20 61 6c 6c 20 68 61 76 65 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 73 61 6d 65 20 76 61 72 69 61 .all.have.the.........same.varia
b620 6e 63 65 2e 20 20 57 68 65 6e 20 75 73 69 6e 67 20 69 6e 76 65 72 73 65 2d 76 61 72 69 61 6e 63 nce...When.using.inverse-varianc
b640 65 20 77 65 69 67 68 74 69 6e 67 2c 20 75 73 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 60 60 77 5b 69 5d 20 e.weighting,.use.........``w[i].
b660 3d 20 31 2f 73 69 67 6d 61 28 79 5b 69 5d 29 60 60 2e 20 20 54 68 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 20 =.1/sigma(y[i])``...The.default.
b680 76 61 6c 75 65 20 69 73 20 4e 6f 6e 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 value.is.None.......Returns.....
b6a0 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 6f 65 66 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 2c 20 73 68 61 70 -------.....coef.:.ndarray,.shap
b6c0 65 20 28 60 64 65 67 60 20 2b 20 31 2c 29 20 6f 72 20 28 60 64 65 67 60 20 2b 20 31 2c 20 60 4b e.(`deg`.+.1,).or.(`deg`.+.1,.`K
b6e0 60 29 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e `).........Polynomial.coefficien
b700 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 20 68 69 67 68 2e 20 20 49 66 ts.ordered.from.low.to.high...If
b720 20 60 79 60 20 77 61 73 20 32 2d 44 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 .`y`.was.2-D,.........the.coeffi
b740 63 69 65 6e 74 73 20 69 6e 20 63 6f 6c 75 6d 6e 20 60 6b 60 20 6f 66 20 60 63 6f 65 66 60 20 72 cients.in.column.`k`.of.`coef`.r
b760 65 70 72 65 73 65 6e 74 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 epresent.the.polynomial.........
b780 66 69 74 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 61 74 61 20 69 6e 20 60 79 60 27 73 20 60 6b 60 2d 74 68 20 fit.to.the.data.in.`y`'s.`k`-th.
b7a0 63 6f 6c 75 6d 6e 2e 0a 0a 20 20 20 20 5b 72 65 73 69 64 75 61 6c 73 2c 20 72 61 6e 6b 2c 20 73 column.......[residuals,.rank,.s
b7c0 69 6e 67 75 6c 61 72 5f 76 61 6c 75 65 73 2c 20 72 63 6f 6e 64 5d 20 3a 20 6c 69 73 74 0a 20 20 ingular_values,.rcond].:.list...
b7e0 20 20 20 20 20 20 54 68 65 73 65 20 76 61 6c 75 65 73 20 61 72 65 20 6f 6e 6c 79 20 72 65 74 75 ......These.values.are.only.retu
b800 72 6e 65 64 20 69 66 20 60 60 66 75 6c 6c 20 3d 3d 20 54 72 75 65 60 60 0a 0a 20 20 20 20 20 20 rned.if.``full.==.True``........
b820 20 20 2d 20 72 65 73 69 64 75 61 6c 73 20 2d 2d 20 73 75 6d 20 6f 66 20 73 71 75 61 72 65 64 20 ..-.residuals.--.sum.of.squared.
b840 72 65 73 69 64 75 61 6c 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 6c 65 61 73 74 20 73 71 75 61 72 65 73 20 66 residuals.of.the.least.squares.f
b860 69 74 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 2d 20 72 61 6e 6b 20 2d 2d 20 74 68 65 20 6e 75 6d 65 72 69 63 it.........-.rank.--.the.numeric
b880 61 6c 20 72 61 6e 6b 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 63 61 6c 65 64 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 al.rank.of.the.scaled.Vandermond
b8a0 65 20 6d 61 74 72 69 78 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 2d 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 5f 76 61 6c 75 e.matrix.........-.singular_valu
b8c0 65 73 20 2d 2d 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 76 61 6c 75 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 63 61 es.--.singular.values.of.the.sca
b8e0 6c 65 64 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 2d led.Vandermonde.matrix.........-
b900 20 72 63 6f 6e 64 20 2d 2d 20 76 61 6c 75 65 20 6f 66 20 60 72 63 6f 6e 64 60 2e 0a 0a 20 20 20 .rcond.--.value.of.`rcond`......
b920 20 20 20 20 20 46 6f 72 20 6d 6f 72 65 20 64 65 74 61 69 6c 73 2c 20 73 65 65 20 60 6e 75 6d 70 .....For.more.details,.see.`nump
b940 79 2e 6c 69 6e 61 6c 67 2e 6c 73 74 73 71 60 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 61 69 73 65 73 0a 20 20 20 y.linalg.lstsq`.......Raises....
b960 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 52 61 6e 6b 57 61 72 6e 69 6e 67 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 .------.....RankWarning.........
b980 52 61 69 73 65 64 20 69 66 20 74 68 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 69 6e 20 74 68 65 20 6c 65 61 73 Raised.if.the.matrix.in.the.leas
b9a0 74 2d 73 71 75 61 72 65 73 20 66 69 74 20 69 73 20 72 61 6e 6b 20 64 65 66 69 63 69 65 6e 74 2e t-squares.fit.is.rank.deficient.
b9c0 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 77 61 72 6e 69 6e 67 20 69 73 20 6f 6e 6c 79 20 72 61 69 .........The.warning.is.only.rai
b9e0 73 65 64 20 69 66 20 60 60 66 75 6c 6c 20 3d 3d 20 46 61 6c 73 65 60 60 2e 20 20 54 68 65 20 77 sed.if.``full.==.False``...The.w
ba00 61 72 6e 69 6e 67 73 20 63 61 6e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 62 65 20 74 75 72 6e 65 64 20 6f 66 arnings.can.........be.turned.of
ba20 66 20 62 79 3a 0a 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 69 6d 70 6f 72 74 20 77 61 72 6e 69 6e f.by:..........>>>.import.warnin
ba40 67 73 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 77 61 72 6e 69 6e 67 73 2e 73 69 6d 70 6c 65 66 69 gs.........>>>.warnings.simplefi
ba60 6c 74 65 72 28 27 69 67 6e 6f 72 65 27 2c 20 6e 70 2e 65 78 63 65 70 74 69 6f 6e 73 2e 52 61 6e lter('ignore',.np.exceptions.Ran
ba80 6b 57 61 72 6e 69 6e 67 29 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d kWarning)......See.Also.....----
baa0 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 63 68 65 62 79 73 ----.....numpy.polynomial.chebys
bac0 68 65 76 2e 63 68 65 62 66 69 74 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c hev.chebfit.....numpy.polynomial
bae0 2e 6c 65 67 65 6e 64 72 65 2e 6c 65 67 66 69 74 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e .legendre.legfit.....numpy.polyn
bb00 6f 6d 69 61 6c 2e 6c 61 67 75 65 72 72 65 2e 6c 61 67 66 69 74 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e omial.laguerre.lagfit.....numpy.
bb20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d 69 74 65 2e 68 65 72 6d 66 69 74 0a 20 20 20 20 6e polynomial.hermite.hermfit.....n
bb40 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d 69 74 65 5f 65 2e 68 65 72 6d 65 66 umpy.polynomial.hermite_e.hermef
bb60 69 74 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6c 20 3a 20 45 76 61 6c 75 61 74 65 73 20 61 20 70 6f 6c it.....polyval.:.Evaluates.a.pol
bb80 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 0a 20 20 20 20 70 6f 6c 79 76 61 6e 64 65 72 20 3a 20 56 61 6e 64 65 72 ynomial......polyvander.:.Vander
bba0 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 66 6f 72 20 70 6f 77 65 72 73 2e 0a 20 20 20 20 6e 75 6d monde.matrix.for.powers......num
bbc0 70 79 2e 6c 69 6e 61 6c 67 2e 6c 73 74 73 71 20 3a 20 43 6f 6d 70 75 74 65 73 20 61 20 6c 65 61 py.linalg.lstsq.:.Computes.a.lea
bbe0 73 74 2d 73 71 75 61 72 65 73 20 66 69 74 20 66 72 6f 6d 20 74 68 65 20 6d 61 74 72 69 78 2e 0a st-squares.fit.from.the.matrix..
bc00 20 20 20 20 73 63 69 70 79 2e 69 6e 74 65 72 70 6f 6c 61 74 65 2e 55 6e 69 76 61 72 69 61 74 65 ....scipy.interpolate.Univariate
bc20 53 70 6c 69 6e 65 20 3a 20 43 6f 6d 70 75 74 65 73 20 73 70 6c 69 6e 65 20 66 69 74 73 2e 0a 0a Spline.:.Computes.spline.fits...
bc40 20 20 20 20 4e 6f 74 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 73 6f 6c 75 ....Notes.....-----.....The.solu
bc60 74 69 6f 6e 20 69 73 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 tion.is.the.coefficients.of.the.
bc80 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 60 70 60 20 74 68 61 74 20 6d 69 6e 69 6d 69 7a 65 73 0a 20 20 polynomial.`p`.that.minimizes...
bca0 20 20 74 68 65 20 73 75 6d 20 6f 66 20 74 68 65 20 77 65 69 67 68 74 65 64 20 73 71 75 61 72 65 ..the.sum.of.the.weighted.square
bcc0 64 20 65 72 72 6f 72 73 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 45 20 3d 20 5c 73 75 6d d.errors.........math::.E.=.\sum
bce0 5f 6a 20 77 5f 6a 5e 32 20 2a 20 7c 79 5f 6a 20 2d 20 70 28 78 5f 6a 29 7c 5e 32 2c 0a 0a 20 20 _j.w_j^2.*.|y_j.-.p(x_j)|^2,....
bd00 20 20 77 68 65 72 65 20 74 68 65 20 3a 6d 61 74 68 3a 60 77 5f 6a 60 20 61 72 65 20 74 68 65 20 ..where.the.:math:`w_j`.are.the.
bd20 77 65 69 67 68 74 73 2e 20 54 68 69 73 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 69 73 20 73 6f 6c 76 65 64 20 weights..This.problem.is.solved.
bd40 62 79 0a 20 20 20 20 73 65 74 74 69 6e 67 20 75 70 20 74 68 65 20 28 74 79 70 69 63 61 6c 6c 79 by.....setting.up.the.(typically
bd60 29 20 6f 76 65 72 2d 64 65 74 65 72 6d 69 6e 65 64 20 6d 61 74 72 69 78 20 65 71 75 61 74 69 6f ).over-determined.matrix.equatio
bd80 6e 3a 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 56 28 78 29 20 2a 20 63 20 3d 20 77 20 2a n:.........math::.V(x).*.c.=.w.*
bda0 20 79 2c 0a 0a 20 20 20 20 77 68 65 72 65 20 60 56 60 20 69 73 20 74 68 65 20 77 65 69 67 68 74 .y,......where.`V`.is.the.weight
bdc0 65 64 20 70 73 65 75 64 6f 20 56 61 6e 64 65 72 6d 6f 6e 64 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 ed.pseudo.Vandermonde.matrix.of.
bde0 60 78 60 2c 20 60 63 60 20 61 72 65 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 `x`,.`c`.are.the.....coefficient
be00 73 20 74 6f 20 62 65 20 73 6f 6c 76 65 64 20 66 6f 72 2c 20 60 77 60 20 61 72 65 20 74 68 65 20 s.to.be.solved.for,.`w`.are.the.
be20 77 65 69 67 68 74 73 2c 20 61 6e 64 20 60 79 60 20 61 72 65 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 6f 62 73 weights,.and.`y`.are.the.....obs
be40 65 72 76 65 64 20 76 61 6c 75 65 73 2e 20 20 54 68 69 73 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 erved.values...This.equation.is.
be60 74 68 65 6e 20 73 6f 6c 76 65 64 20 75 73 69 6e 67 20 74 68 65 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 76 then.solved.using.the.singular.v
be80 61 6c 75 65 0a 20 20 20 20 64 65 63 6f 6d 70 6f 73 69 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 60 56 60 2e 0a 0a alue.....decomposition.of.`V`...
bea0 20 20 20 20 49 66 20 73 6f 6d 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 76 61 6c 75 ....If.some.of.the.singular.valu
bec0 65 73 20 6f 66 20 60 56 60 20 61 72 65 20 73 6f 20 73 6d 61 6c 6c 20 74 68 61 74 20 74 68 65 79 es.of.`V`.are.so.small.that.they
bee0 20 61 72 65 0a 20 20 20 20 6e 65 67 6c 65 63 74 65 64 20 28 61 6e 64 20 60 66 75 6c 6c 60 20 3d .are.....neglected.(and.`full`.=
bf00 3d 20 60 60 46 61 6c 73 65 60 60 29 2c 20 61 20 60 7e 65 78 63 65 70 74 69 6f 6e 73 2e 52 61 6e =.``False``),.a.`~exceptions.Ran
bf20 6b 57 61 72 6e 69 6e 67 60 20 77 69 6c 6c 20 62 65 0a 20 20 20 20 72 61 69 73 65 64 2e 20 20 54 kWarning`.will.be.....raised...T
bf40 68 69 73 20 6d 65 61 6e 73 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 76 his.means.that.the.coefficient.v
bf60 61 6c 75 65 73 20 6d 61 79 20 62 65 20 70 6f 6f 72 6c 79 20 64 65 74 65 72 6d 69 6e 65 64 2e 0a alues.may.be.poorly.determined..
bf80 20 20 20 20 46 69 74 74 69 6e 67 20 74 6f 20 61 20 6c 6f 77 65 72 20 6f 72 64 65 72 20 70 6f 6c ....Fitting.to.a.lower.order.pol
bfa0 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 77 69 6c 6c 20 75 73 75 61 6c 6c 79 20 67 65 74 20 72 69 64 20 6f 66 20 ynomial.will.usually.get.rid.of.
bfc0 74 68 65 20 77 61 72 6e 69 6e 67 0a 20 20 20 20 28 62 75 74 20 6d 61 79 20 6e 6f 74 20 62 65 20 the.warning.....(but.may.not.be.
bfe0 77 68 61 74 20 79 6f 75 20 77 61 6e 74 2c 20 6f 66 20 63 6f 75 72 73 65 3b 20 69 66 20 79 6f 75 what.you.want,.of.course;.if.you
c000 20 68 61 76 65 20 69 6e 64 65 70 65 6e 64 65 6e 74 0a 20 20 20 20 72 65 61 73 6f 6e 28 73 29 20 .have.independent.....reason(s).
c020 66 6f 72 20 63 68 6f 6f 73 69 6e 67 20 74 68 65 20 64 65 67 72 65 65 20 77 68 69 63 68 20 69 73 for.choosing.the.degree.which.is
c040 6e 27 74 20 77 6f 72 6b 69 6e 67 2c 20 79 6f 75 20 6d 61 79 20 68 61 76 65 20 74 6f 3a 0a 20 20 n't.working,.you.may.have.to:...
c060 20 20 61 29 20 72 65 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 6f 73 65 20 72 65 61 73 6f 6e 73 2c 20 61 ..a).reconsider.those.reasons,.a
c080 6e 64 2f 6f 72 20 62 29 20 72 65 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 65 20 71 75 61 6c 69 74 79 20 nd/or.b).reconsider.the.quality.
c0a0 6f 66 20 79 6f 75 72 0a 20 20 20 20 64 61 74 61 29 2e 20 20 54 68 65 20 60 72 63 6f 6e 64 60 20 of.your.....data)...The.`rcond`.
c0c0 70 61 72 61 6d 65 74 65 72 20 63 61 6e 20 61 6c 73 6f 20 62 65 20 73 65 74 20 74 6f 20 61 20 76 parameter.can.also.be.set.to.a.v
c0e0 61 6c 75 65 20 73 6d 61 6c 6c 65 72 20 74 68 61 6e 0a 20 20 20 20 69 74 73 20 64 65 66 61 75 6c alue.smaller.than.....its.defaul
c100 74 2c 20 62 75 74 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 69 6e 67 20 66 69 74 20 6d 61 79 20 62 65 20 t,.but.the.resulting.fit.may.be.
c120 73 70 75 72 69 6f 75 73 20 61 6e 64 20 68 61 76 65 20 6c 61 72 67 65 0a 20 20 20 20 63 6f 6e 74 spurious.and.have.large.....cont
c140 72 69 62 75 74 69 6f 6e 73 20 66 72 6f 6d 20 72 6f 75 6e 64 6f 66 66 20 65 72 72 6f 72 2e 0a 0a ributions.from.roundoff.error...
c160 20 20 20 20 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 66 69 74 73 20 75 73 69 6e 67 20 64 6f 75 62 6c 65 ....Polynomial.fits.using.double
c180 20 70 72 65 63 69 73 69 6f 6e 20 74 65 6e 64 20 74 6f 20 22 66 61 69 6c 22 20 61 74 20 61 62 6f .precision.tend.to."fail".at.abo
c1a0 75 74 0a 20 20 20 20 28 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 29 20 64 65 67 72 65 65 20 32 30 2e 20 46 ut.....(polynomial).degree.20..F
c1c0 69 74 73 20 75 73 69 6e 67 20 43 68 65 62 79 73 68 65 76 20 6f 72 20 4c 65 67 65 6e 64 72 65 20 its.using.Chebyshev.or.Legendre.
c1e0 73 65 72 69 65 73 20 61 72 65 0a 20 20 20 20 67 65 6e 65 72 61 6c 6c 79 20 62 65 74 74 65 72 20 series.are.....generally.better.
c200 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 2c 20 62 75 74 20 6d 75 63 68 20 63 61 6e 20 73 74 69 6c 6c 20 conditioned,.but.much.can.still.
c220 64 65 70 65 6e 64 20 6f 6e 20 74 68 65 0a 20 20 20 20 64 69 73 74 72 69 62 75 74 69 6f 6e 20 6f depend.on.the.....distribution.o
c240 66 20 74 68 65 20 73 61 6d 70 6c 65 20 70 6f 69 6e 74 73 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 73 6d 6f 6f f.the.sample.points.and.the.smoo
c260 74 68 6e 65 73 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 64 61 74 61 2e 20 20 49 66 0a 20 20 20 20 74 68 65 20 thness.of.the.data...If.....the.
c280 71 75 61 6c 69 74 79 20 6f 66 20 74 68 65 20 66 69 74 20 69 73 20 69 6e 61 64 65 71 75 61 74 65 quality.of.the.fit.is.inadequate
c2a0 2c 20 73 70 6c 69 6e 65 73 20 6d 61 79 20 62 65 20 61 20 67 6f 6f 64 0a 20 20 20 20 61 6c 74 65 ,.splines.may.be.a.good.....alte
c2c0 72 6e 61 74 69 76 65 2e 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d rnative.......Examples.....-----
c2e0 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 69 6d 70 6f 72 74 20 6e 75 6d 70 79 20 61 73 20 6e 70 0a 20 ---.....>>>.import.numpy.as.np..
c300 20 20 20 3e 3e 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 ...>>>.from.numpy.polynomial.imp
c320 6f 72 74 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 78 20 3d 20 ort.polynomial.as.P.....>>>.x.=.
c340 6e 70 2e 6c 69 6e 73 70 61 63 65 28 2d 31 2c 31 2c 35 31 29 20 20 23 20 78 20 22 64 61 74 61 22 np.linspace(-1,1,51)..#.x."data"
c360 3a 20 5b 2d 31 2c 20 2d 30 2e 39 36 2c 20 2e 2e 2e 2c 20 30 2e 39 36 2c 20 31 5d 0a 20 20 20 20 :.[-1,.-0.96,....,.0.96,.1].....
c380 3e 3e 3e 20 72 6e 67 20 3d 20 6e 70 2e 72 61 6e 64 6f 6d 2e 64 65 66 61 75 6c 74 5f 72 6e 67 28 >>>.rng.=.np.random.default_rng(
c3a0 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 65 72 72 20 3d 20 72 6e 67 2e 6e 6f 72 6d 61 6c 28 73 69 7a 65 3d ).....>>>.err.=.rng.normal(size=
c3c0 6c 65 6e 28 78 29 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 79 20 3d 20 78 2a 2a 33 20 2d 20 78 20 2b 20 65 len(x)).....>>>.y.=.x**3.-.x.+.e
c3e0 72 72 20 20 23 20 78 5e 33 20 2d 20 78 20 2b 20 47 61 75 73 73 69 61 6e 20 6e 6f 69 73 65 0a 20 rr..#.x^3.-.x.+.Gaussian.noise..
c400 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 2c 20 73 74 61 74 73 20 3d 20 50 2e 70 6f 6c 79 66 69 74 28 78 2c 79 2c ...>>>.c,.stats.=.P.polyfit(x,y,
c420 33 2c 66 75 6c 6c 3d 54 72 75 65 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 20 23 20 63 5b 30 5d 2c 20 63 3,full=True).....>>>.c.#.c[0],.c
c440 5b 31 5d 20 61 70 70 72 6f 78 2e 20 2d 31 2c 20 63 5b 32 5d 20 73 68 6f 75 6c 64 20 62 65 20 61 [1].approx..-1,.c[2].should.be.a
c460 70 70 72 6f 78 2e 20 30 2c 20 63 5b 33 5d 20 61 70 70 72 6f 78 2e 20 31 0a 20 20 20 20 61 72 72 pprox..0,.c[3].approx..1.....arr
c480 61 79 28 5b 20 30 2e 32 33 31 31 31 39 39 36 2c 20 2d 31 2e 30 32 37 38 35 30 34 39 2c 20 2d 30 ay([.0.23111996,.-1.02785049,.-0
c4a0 2e 32 32 34 31 34 34 34 20 2c 20 20 31 2e 30 38 34 30 35 36 35 37 5d 29 20 23 20 6d 61 79 20 76 .2241444.,..1.08405657]).#.may.v
c4c0 61 72 79 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 73 74 61 74 73 20 23 20 6e 6f 74 65 20 74 68 65 20 6c 61 72 ary.....>>>.stats.#.note.the.lar
c4e0 67 65 20 53 53 52 2c 20 65 78 70 6c 61 69 6e 69 6e 67 20 74 68 65 20 72 61 74 68 65 72 20 70 6f ge.SSR,.explaining.the.rather.po
c500 6f 72 20 72 65 73 75 6c 74 73 0a 20 20 20 20 5b 61 72 72 61 79 28 5b 34 38 2e 33 31 32 30 38 38 or.results.....[array([48.312088
c520 5d 29 2c 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ]),.............................
c540 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 23 20 6d 61 79 20 76 61 72 79 0a 20 20 20 20 20 34 2c 0a 20 20 ...........#.may.vary......4,...
c560 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 31 2e 33 38 34 34 36 37 34 39 2c 20 31 2e 33 32 31 31 39 31 35 38 ...array([1.38446749,.1.32119158
c580 2c 20 30 2e 35 30 34 34 33 33 31 36 2c 20 30 2e 32 38 38 35 33 30 33 36 5d 29 2c 0a 20 20 20 20 ,.0.50443316,.0.28853036]),.....
c5a0 20 31 2e 31 33 32 34 32 37 34 38 35 31 31 37 36 35 39 37 65 2d 31 34 5d 0a 0a 20 20 20 20 53 61 .1.1324274851176597e-14]......Sa
c5c0 6d 65 20 74 68 69 6e 67 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 74 68 65 20 61 64 64 65 64 20 6e 6f 69 73 65 me.thing.without.the.added.noise
c5e0 0a 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 79 20 3d 20 78 2a 2a 33 20 2d 20 78 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 ......>>>.y.=.x**3.-.x.....>>>.c
c600 2c 20 73 74 61 74 73 20 3d 20 50 2e 70 6f 6c 79 66 69 74 28 78 2c 79 2c 33 2c 66 75 6c 6c 3d 54 ,.stats.=.P.polyfit(x,y,3,full=T
c620 72 75 65 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 20 23 20 63 5b 30 5d 2c 20 63 5b 31 5d 20 7e 3d 20 2d rue).....>>>.c.#.c[0],.c[1].~=.-
c640 31 2c 20 63 5b 32 5d 20 73 68 6f 75 6c 64 20 62 65 20 22 76 65 72 79 20 63 6c 6f 73 65 20 74 6f 1,.c[2].should.be."very.close.to
c660 20 30 22 2c 20 63 5b 33 5d 20 7e 3d 20 31 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 2d 36 2e 37 33 34 .0",.c[3].~=.1.....array([-6.734
c680 39 36 31 35 34 65 2d 31 37 2c 20 2d 31 2e 30 30 30 30 30 30 30 30 65 2b 30 30 2c 20 20 30 2e 30 96154e-17,.-1.00000000e+00,..0.0
c6a0 30 30 30 30 30 30 30 65 2b 30 30 2c 20 20 31 2e 30 30 30 30 30 30 30 30 65 2b 30 30 5d 29 0a 20 0000000e+00,..1.00000000e+00])..
c6c0 20 20 20 3e 3e 3e 20 73 74 61 74 73 20 23 20 6e 6f 74 65 20 74 68 65 20 6d 69 6e 75 73 63 75 6c ...>>>.stats.#.note.the.minuscul
c6e0 65 20 53 53 52 0a 20 20 20 20 5b 61 72 72 61 79 28 5b 38 2e 37 39 35 37 39 33 31 39 65 2d 33 31 e.SSR.....[array([8.79579319e-31
c700 5d 29 2c 0a 20 20 20 20 20 6e 70 2e 69 6e 74 33 32 28 34 29 2c 0a 20 20 20 20 20 61 72 72 61 79 ]),......np.int32(4),......array
c720 28 5b 31 2e 33 38 34 34 36 37 34 39 2c 20 31 2e 33 32 31 31 39 31 35 38 2c 20 30 2e 35 30 34 34 ([1.38446749,.1.32119158,.0.5044
c740 33 33 31 36 2c 20 30 2e 32 38 38 35 33 30 33 36 5d 29 2c 0a 20 20 20 20 20 31 2e 31 33 32 34 32 3316,.0.28853036]),......1.13242
c760 37 34 38 35 31 31 37 36 35 39 37 65 2d 31 34 5d 0a 0a 20 20 20 20 29 03 72 2b 00 00 00 da 04 5f 74851176597e-14]......).r+....._
c780 66 69 74 72 12 00 00 00 29 06 72 71 00 00 00 72 7d 00 00 00 72 86 00 00 00 da 05 72 63 6f 6e 64 fitr....).rq...r}...r......rcond
c7a0 da 04 66 75 6c 6c da 01 77 73 06 00 00 00 20 20 20 20 20 20 72 28 00 00 00 72 13 00 00 00 72 13 ..full..ws..........r(...r....r.
c7c0 00 00 00 05 05 00 00 73 20 00 00 00 80 00 f4 6e 04 00 0c 0e 8f 37 89 37 94 3a 98 71 a0 21 a0 53 .......s.......n.....7.7.:.q.!.S
c7e0 a8 25 b0 14 b0 71 d3 0b 39 d0 04 39 72 29 00 00 00 63 01 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 06 00 .%...q..9..9r)...c..............
c800 00 00 03 00 00 00 f3 9a 01 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 .............t.........j........
c820 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 5c 01 00 00 7d 00 74 05 00 ...........|.g.........\...}.t..
c840 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 01 6b 02 00 00 72 0b 74 07 00 00 00 00 00 .......|.........d.k...r.t......
c860 00 00 00 64 02 ab 01 00 00 00 00 00 00 82 01 74 05 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 ...d...........t.........|......
c880 00 00 00 64 01 6b 28 00 00 72 21 74 09 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...d.k(..r!t.........j..........
c8a0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 03 19 00 00 00 0b 00 7c 00 64 04 19 00 00 00 7a 0b 00 00 67 .........|.d.......|.d.....z...g
c8c0 01 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 53 00 74 05 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 .g.........S.t.........|........
c8e0 00 64 04 7a 0a 00 00 7d 01 74 09 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 0c 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .d.z...}.t.........j............
c900 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 7c 01 66 02 7c 00 6a 0e 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .......|.|.f.|.j................
c920 00 00 00 ac 05 ab 02 00 00 00 00 00 00 7d 02 7c 02 6a 11 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .............}.|.j..............
c940 00 00 00 00 00 64 06 ab 01 00 00 00 00 00 00 7c 01 64 07 7c 01 64 04 7a 00 00 00 85 03 19 00 00 .....d.........|.d.|.d.z........
c960 00 7d 03 64 04 7c 03 64 08 3c 00 00 00 7c 02 64 07 64 07 85 02 64 06 66 02 78 02 78 02 19 00 00 .}.d.|.d.<...|.d.d...d.f.x.x....
c980 00 7c 00 64 07 64 06 1a 00 7c 00 64 06 19 00 00 00 7a 0b 00 00 7a 17 00 00 63 03 63 02 3c 00 00 .|.d.d...|.d.....z...z...c.c.<..
c9a0 00 7c 02 53 00 29 09 61 88 02 00 00 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 20 74 68 65 20 63 6f 6d 70 .|.S.).a.........Return.the.comp
c9c0 61 6e 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 63 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 63 6f 6d 70 anion.matrix.of.c.......The.comp
c9e0 61 6e 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 66 6f 72 20 70 6f 77 65 72 20 73 65 72 69 65 73 20 63 61 anion.matrix.for.power.series.ca
ca00 6e 6e 6f 74 20 62 65 20 6d 61 64 65 20 73 79 6d 6d 65 74 72 69 63 20 62 79 0a 20 20 20 20 73 63 nnot.be.made.symmetric.by.....sc
ca20 61 6c 69 6e 67 20 74 68 65 20 62 61 73 69 73 2c 20 73 6f 20 74 68 69 73 20 66 75 6e 63 74 69 6f aling.the.basis,.so.this.functio
ca40 6e 20 64 69 66 66 65 72 73 20 66 72 6f 6d 20 74 68 6f 73 65 20 66 6f 72 20 74 68 65 0a 20 20 20 n.differs.from.those.for.the....
ca60 20 6f 72 74 68 6f 67 6f 6e 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 .orthogonal.polynomials.......Pa
ca80 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 rameters.....----------.....c.:.
caa0 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 20 array_like.........1-D.array.of.
cac0 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 6f 72 64 65 72 65 64 20 polynomial.coefficients.ordered.
cae0 66 72 6f 6d 20 6c 6f 77 20 74 6f 20 68 69 67 68 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 64 65 67 72 65 65 2e from.low.to.high.........degree.
cb00 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6d 61 ......Returns.....-------.....ma
cb20 74 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 43 6f 6d 70 61 6e 69 6f 6e 20 6d 61 t.:.ndarray.........Companion.ma
cb40 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 73 20 28 64 65 67 2c 20 64 65 67 29 2e 0a 0a trix.of.dimensions.(deg,.deg)...
cb60 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 3e 3e ....Examples.....--------.....>>
cb80 3e 20 66 72 6f 6d 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 6d 70 6f 72 74 20 70 >.from.numpy.polynomial.import.p
cba0 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 50 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 63 20 3d 20 28 31 2c 20 32 olynomial.as.P.....>>>.c.=.(1,.2
cbc0 2c 20 33 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 50 2e 70 6f 6c 79 63 6f 6d 70 61 6e 69 6f 6e 28 63 29 0a ,.3).....>>>.P.polycompanion(c).
cbe0 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 5b 20 30 2e 20 20 20 20 20 20 20 20 2c 20 2d 30 2e 33 33 33 33 ....array([[.0.........,.-0.3333
cc00 33 33 33 33 5d 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5b 20 31 2e 20 20 20 20 20 20 20 20 2c 20 3333],............[.1.........,.
cc20 2d 30 2e 36 36 36 36 36 36 36 37 5d 5d 29 0a 0a 20 20 20 20 72 6b 00 00 00 7a 2e 53 65 72 69 65 -0.66666667]])......rk...z.Serie
cc40 73 20 6d 75 73 74 20 68 61 76 65 20 6d 61 78 69 6d 75 6d 20 64 65 67 72 65 65 20 6f 66 20 61 74 s.must.have.maximum.degree.of.at
cc60 20 6c 65 61 73 74 20 31 2e 72 1e 00 00 00 72 20 00 00 00 72 36 00 00 00 72 42 00 00 00 4e 2e 29 .least.1.r....r....r6...rB...N.)
cc80 09 72 2b 00 00 00 72 38 00 00 00 72 39 00 00 00 72 56 00 00 00 72 24 00 00 00 72 25 00 00 00 da .r+...r8...r9...rV...r$...r%....
cca0 05 7a 65 72 6f 73 72 37 00 00 00 72 70 00 00 00 29 04 72 3b 00 00 00 72 60 00 00 00 da 03 6d 61 .zerosr7...rp...).r;...r`.....ma
ccc0 74 da 03 62 6f 74 73 04 00 00 00 20 20 20 20 72 28 00 00 00 72 1d 00 00 00 72 1d 00 00 00 9f 05 t..bots........r(...r....r......
cce0 00 00 73 c9 00 00 00 80 00 f4 3a 00 0b 0d 8f 2c 89 2c 98 01 90 73 d3 0a 1b 81 43 80 51 dc 07 0a ..s.......:....,.,...s....C.Q...
cd00 88 31 83 76 90 01 82 7a dc 0e 18 d0 19 49 d3 0e 4a d0 08 4a dc 07 0a 88 31 83 76 90 11 82 7b dc .1.v...z.....I..J..J....1.v...{.
cd20 0f 11 8f 78 89 78 98 31 98 51 99 34 98 25 a0 21 a0 41 a1 24 99 2c 98 1e d0 18 28 d3 0f 29 d0 08 ...x.x.1.Q.4.%.!.A.$.,....(..)..
cd40 29 e4 08 0b 88 41 8b 06 90 11 89 0a 80 41 dc 0a 0c 8f 28 89 28 90 41 90 71 90 36 a0 11 a7 17 a1 )....A.......A....(.(.A.q.6.....
cd60 17 d4 0a 29 80 43 d8 0a 0d 8f 2b 89 2b 90 62 8b 2f 98 21 98 28 98 51 a0 11 99 55 98 28 d1 0a 23 ...).C....+.+.b./.!.(.Q...U.(..#
cd80 80 43 d8 0f 10 80 43 88 03 81 48 d8 04 07 8a 01 88 32 88 05 83 4a 90 21 90 43 90 52 90 26 98 31 .C....C...H......2...J.!.C.R.&.1
cda0 98 52 99 35 91 2e d1 04 20 83 4a d8 0b 0e 80 4a 72 29 00 00 00 63 01 00 00 00 00 00 00 00 00 00 .R.5......J....Jr)...c..........
cdc0 00 00 05 00 00 00 03 00 00 00 f3 50 01 00 00 97 00 74 01 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 02 00 00 00 ...........P.....t.........j....
cde0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 5c 01 00 00 7d ...............|.g.........\...}
ce00 00 74 05 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 01 6b 02 00 00 72 21 74 07 00 .t.........|.........d.k...r!t..
ce20 00 00 00 00 00 00 00 6a 08 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 67 00 7c 00 6a .......j...................g.|.j
ce40 0a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ac 02 ab 02 00 00 00 00 00 00 53 00 74 .............................S.t
ce60 05 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 64 01 6b 28 00 00 72 20 74 07 00 00 00 .........|.........d.k(..r.t....
ce80 00 00 00 00 00 6a 08 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 64 03 19 00 00 .....j...................|.d....
cea0 00 0b 00 7c 00 64 04 19 00 00 00 7a 0b 00 00 67 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 53 00 74 0d 00 00 00 ...|.d.....z...g.........S.t....
cec0 00 00 00 00 00 7c 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 01 74 0f 00 00 00 00 00 00 00 00 6a 10 00 00 00 .....|.........}.t.........j....
cee0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 01 ab 01 00 00 00 00 00 00 7d 02 7c 02 6a 13 00 ...............|.........}.|.j..
cf00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ab 00 00 00 00 00 00 00 01 00 7c 02 53 00 29 ...........................|.S.)
cf20 05 61 1b 06 00 00 0a 20 20 20 20 43 6f 6d 70 75 74 65 20 74 68 65 20 72 6f 6f 74 73 20 6f 66 20 .a.........Compute.the.roots.of.
cf40 61 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 20 74 68 65 20 72 6f a.polynomial.......Return.the.ro
cf60 6f 74 73 20 28 61 2e 6b 2e 61 2e 20 22 7a 65 72 6f 73 22 29 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 ots.(a.k.a.."zeros").of.the.poly
cf80 6e 6f 6d 69 61 6c 0a 0a 20 20 20 20 2e 2e 20 6d 61 74 68 3a 3a 20 70 28 78 29 20 3d 20 5c 73 75 nomial.........math::.p(x).=.\su
cfa0 6d 5f 69 20 63 5b 69 5d 20 2a 20 78 5e 69 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a m_i.c[i].*.x^i.......Parameters.
cfc0 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 20 3a 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 ....----------.....c.:.1-D.array
cfe0 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 31 2d 44 20 61 72 72 61 79 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e _like.........1-D.array.of.polyn
d000 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 52 65 74 75 72 6e 73 omial.coefficients.......Returns
d020 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 6f 75 74 20 3a 20 6e 64 61 72 72 61 79 0a 20 .....-------.....out.:.ndarray..
d040 20 20 20 20 20 20 20 41 72 72 61 79 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 6f 6f 74 73 20 6f 66 20 74 68 65 .......Array.of.the.roots.of.the
d060 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 20 49 66 20 61 6c 6c 20 74 68 65 20 72 6f 6f 74 73 20 61 72 .polynomial..If.all.the.roots.ar
d080 65 20 72 65 61 6c 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 74 68 65 6e 20 60 6f 75 74 60 20 69 73 20 61 6c e.real,.........then.`out`.is.al
d0a0 73 6f 20 72 65 61 6c 2c 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 69 74 20 69 73 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 so.real,.otherwise.it.is.complex
d0c0 2e 0a 0a 20 20 20 20 53 65 65 20 41 6c 73 6f 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 .......See.Also.....--------....
d0e0 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 63 68 65 62 79 73 68 65 76 2e 63 68 65 62 .numpy.polynomial.chebyshev.cheb
d100 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 6c 65 67 65 6e roots.....numpy.polynomial.legen
d120 64 72 65 2e 6c 65 67 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 dre.legroots.....numpy.polynomia
d140 6c 2e 6c 61 67 75 65 72 72 65 2e 6c 61 67 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f l.laguerre.lagroots.....numpy.po
d160 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d 69 74 65 2e 68 65 72 6d 72 6f 6f 74 73 0a 20 20 20 20 6e lynomial.hermite.hermroots.....n
d180 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 68 65 72 6d 69 74 65 5f 65 2e 68 65 72 6d 65 72 umpy.polynomial.hermite_e.hermer
d1a0 6f 6f 74 73 0a 0a 20 20 20 20 4e 6f 74 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 54 68 oots......Notes.....-----.....Th
d1c0 65 20 72 6f 6f 74 20 65 73 74 69 6d 61 74 65 73 20 61 72 65 20 6f 62 74 61 69 6e 65 64 20 61 73 e.root.estimates.are.obtained.as
d1e0 20 74 68 65 20 65 69 67 65 6e 76 61 6c 75 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 6d 70 61 6e 69 6f .the.eigenvalues.of.the.companio
d200 6e 0a 20 20 20 20 6d 61 74 72 69 78 2c 20 52 6f 6f 74 73 20 66 61 72 20 66 72 6f 6d 20 74 68 65 n.....matrix,.Roots.far.from.the
d220 20 6f 72 69 67 69 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 70 6c 61 6e 65 20 6d 61 79 .origin.of.the.complex.plane.may
d240 20 68 61 76 65 20 6c 61 72 67 65 0a 20 20 20 20 65 72 72 6f 72 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 .have.large.....errors.due.to.th
d260 65 20 6e 75 6d 65 72 69 63 61 6c 20 69 6e 73 74 61 62 69 6c 69 74 79 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 e.numerical.instability.of.the.p
d280 6f 77 65 72 20 73 65 72 69 65 73 20 66 6f 72 20 73 75 63 68 0a 20 20 20 20 76 61 6c 75 65 73 2e ower.series.for.such.....values.
d2a0 20 52 6f 6f 74 73 20 77 69 74 68 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 69 74 79 20 67 72 65 61 74 65 72 .Roots.with.multiplicity.greater
d2c0 20 74 68 61 6e 20 31 20 77 69 6c 6c 20 61 6c 73 6f 20 73 68 6f 77 20 6c 61 72 67 65 72 0a 20 20 .than.1.will.also.show.larger...
d2e0 20 20 65 72 72 6f 72 73 20 61 73 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 65 72 ..errors.as.the.value.of.the.ser
d300 69 65 73 20 6e 65 61 72 20 73 75 63 68 20 70 6f 69 6e 74 73 20 69 73 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 ies.near.such.points.is.relative
d320 6c 79 0a 20 20 20 20 69 6e 73 65 6e 73 69 74 69 76 65 20 74 6f 20 65 72 72 6f 72 73 20 69 6e 20 ly.....insensitive.to.errors.in.
d340 74 68 65 20 72 6f 6f 74 73 2e 20 49 73 6f 6c 61 74 65 64 20 72 6f 6f 74 73 20 6e 65 61 72 20 74 the.roots..Isolated.roots.near.t
d360 68 65 20 6f 72 69 67 69 6e 20 63 61 6e 0a 20 20 20 20 62 65 20 69 6d 70 72 6f 76 65 64 20 62 79 he.origin.can.....be.improved.by
d380 20 61 20 66 65 77 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 4e 65 77 74 6f 6e 27 73 20 6d 65 .a.few.iterations.of.Newton's.me
d3a0 74 68 6f 64 2e 0a 0a 20 20 20 20 45 78 61 6d 70 6c 65 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d thod.......Examples.....--------
d3c0 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 69 6d 70 6f 72 74 20 6e 75 6d 70 79 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c .....>>>.import.numpy.polynomial
d3e0 2e 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 20 70 6f 6c 79 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 .polynomial.as.poly.....>>>.poly
d400 2e 70 6f 6c 79 72 6f 6f 74 73 28 70 6f 6c 79 2e 70 6f 6c 79 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 28 2d .polyroots(poly.polyfromroots((-
d420 31 2c 30 2c 31 29 29 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 2d 31 2e 2c 20 20 30 2e 2c 20 20 31 1,0,1))).....array([-1.,..0.,..1
d440 2e 5d 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 2e 70 6f 6c 79 72 6f 6f 74 73 28 70 6f 6c 79 2e .]).....>>>.poly.polyroots(poly.
d460 70 6f 6c 79 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 28 2d 31 2c 30 2c 31 29 29 29 2e 64 74 79 70 65 0a 20 polyfromroots((-1,0,1))).dtype..
d480 20 20 20 64 74 79 70 65 28 27 66 6c 6f 61 74 36 34 27 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 6a 20 3d 20 ...dtype('float64').....>>>.j.=.
d4a0 63 6f 6d 70 6c 65 78 28 30 2c 31 29 0a 20 20 20 20 3e 3e 3e 20 70 6f 6c 79 2e 70 6f 6c 79 72 6f complex(0,1).....>>>.poly.polyro
d4c0 6f 74 73 28 70 6f 6c 79 2e 70 6f 6c 79 66 72 6f 6d 72 6f 6f 74 73 28 28 2d 6a 2c 30 2c 6a 29 29 ots(poly.polyfromroots((-j,0,j))
d4e0 29 0a 20 20 20 20 61 72 72 61 79 28 5b 20 20 30 2e 30 30 30 30 30 30 30 30 65 2b 30 30 2b 30 2e ).....array([..0.00000000e+00+0.
d500 6a 2c 20 20 20 30 2e 30 30 30 30 30 30 30 30 65 2b 30 30 2b 31 2e 6a 2c 20 20 20 32 2e 37 37 35 j,...0.00000000e+00+1.j,...2.775
d520 35 35 37 35 36 65 2d 31 37 2d 31 2e 6a 5d 29 20 20 23 20 6d 61 79 20 76 61 72 79 0a 0a 20 20 20 55756e-17-1.j])..#.may.vary.....
d540 20 72 6b 00 00 00 72 36 00 00 00 72 1e 00 00 00 72 20 00 00 00 29 0a 72 2b 00 00 00 72 38 00 00 .rk...r6...r....r....).r+...r8..
d560 00 72 39 00 00 00 72 24 00 00 00 72 25 00 00 00 72 37 00 00 00 72 1d 00 00 00 da 02 6c 61 da 07 .r9...r$...r%...r7...r......la..
d580 65 69 67 76 61 6c 73 da 04 73 6f 72 74 29 03 72 3b 00 00 00 72 5b 00 00 00 72 78 00 00 00 73 03 eigvals..sort).r;...r[...rx...s.
d5a0 00 00 00 20 20 20 72 28 00 00 00 72 15 00 00 00 72 15 00 00 00 ca 05 00 00 73 86 00 00 00 80 00 ......r(...r....r........s......
d5c0 f4 64 01 00 0b 0d 8f 2c 89 2c 98 01 90 73 d3 0a 1b 81 43 80 51 dc 07 0a 88 31 83 76 90 01 82 7a .d.....,.,...s....C.Q....1.v...z
d5e0 dc 0f 11 8f 78 89 78 98 02 a0 21 a7 27 a1 27 d4 0f 2a d0 08 2a dc 07 0a 88 31 83 76 90 11 82 7b ....x.x...!.'.'..*..*....1.v...{
d600 dc 0f 11 8f 78 89 78 98 21 98 41 99 24 98 15 a0 11 a0 31 a1 14 99 1c 98 0e d3 0f 27 d0 08 27 e4 ....x.x.!.A.$.....1........'..'.
d620 08 15 90 61 d3 08 18 80 41 dc 08 0a 8f 0a 89 0a 90 31 8b 0d 80 41 d8 04 05 87 46 81 46 84 48 d8 ...a....A........1...A....F.F.H.
d640 0b 0c 80 48 72 29 00 00 00 63 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 03 00 00 00 00 00 00 00 f3 4c ...Hr)...c.....................L
d660 01 00 00 97 00 65 00 5a 01 64 00 5a 02 64 01 5a 03 02 00 65 04 65 05 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a .....e.Z.d.Z.d.Z...e.e.........Z
d680 06 02 00 65 04 65 07 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 08 02 00 65 04 65 09 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a ...e.e.........Z...e.e.........Z
d6a0 0a 02 00 65 04 65 0b ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 0c 02 00 65 04 65 0d ab 01 00 00 00 00 00 00 5a ...e.e.........Z...e.e.........Z
d6c0 0e 02 00 65 04 65 0f ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 10 02 00 65 04 65 11 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a ...e.e.........Z...e.e.........Z
d6e0 12 02 00 65 04 65 13 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 14 02 00 65 04 65 15 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a ...e.e.........Z...e.e.........Z
d700 16 02 00 65 04 65 17 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 18 02 00 65 04 65 19 ab 01 00 00 00 00 00 00 5a ...e.e.........Z...e.e.........Z
d720 1a 02 00 65 04 65 1b ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 1c 02 00 65 1d 6a 3c 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...e.e.........Z...e.j<.........
d740 00 00 00 00 00 00 00 00 00 65 1f ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 20 02 00 65 1d 6a 3c 00 00 00 00 00 .........e.........Z...e.j<.....
d760 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 65 1f ab 01 00 00 00 00 00 00 5a 21 64 02 5a 22 65 23 64 .............e.........Z!d.Z"e#d
d780 03 84 00 ab 00 00 00 00 00 00 00 5a 24 65 04 64 04 84 00 ab 00 00 00 00 00 00 00 5a 25 65 04 64 ...........Z$e.d...........Z%e.d
d7a0 05 84 00 ab 00 00 00 00 00 00 00 5a 26 79 02 29 06 72 16 00 00 00 61 e7 03 00 00 41 20 70 6f 77 ...........Z&y.).r....a....A.pow
d7c0 65 72 20 73 65 72 69 65 73 20 63 6c 61 73 73 2e 0a 0a 20 20 20 20 54 68 65 20 50 6f 6c 79 6e 6f er.series.class.......The.Polyno
d7e0 6d 69 61 6c 20 63 6c 61 73 73 20 70 72 6f 76 69 64 65 73 20 74 68 65 20 73 74 61 6e 64 61 72 64 mial.class.provides.the.standard
d800 20 50 79 74 68 6f 6e 20 6e 75 6d 65 72 69 63 61 6c 20 6d 65 74 68 6f 64 73 0a 20 20 20 20 27 2b .Python.numerical.methods.....'+
d820 27 2c 20 27 2d 27 2c 20 27 2a 27 2c 20 27 2f 2f 27 2c 20 27 25 27 2c 20 27 64 69 76 6d 6f 64 27 ',.'-',.'*',.'//',.'%',.'divmod'
d840 2c 20 27 2a 2a 27 2c 20 61 6e 64 20 27 28 29 27 20 61 73 20 77 65 6c 6c 20 61 73 20 74 68 65 0a ,.'**',.and.'()'.as.well.as.the.
d860 20 20 20 20 61 74 74 72 69 62 75 74 65 73 20 61 6e 64 20 6d 65 74 68 6f 64 73 20 6c 69 73 74 65 ....attributes.and.methods.liste
d880 64 20 62 65 6c 6f 77 2e 0a 0a 20 20 20 20 50 61 72 61 6d 65 74 65 72 73 0a 20 20 20 20 2d 2d 2d d.below.......Parameters.....---
d8a0 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 0a 20 20 20 20 63 6f 65 66 20 3a 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 0a 20 20 -------.....coef.:.array_like...
d8c0 20 20 20 20 20 20 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 63 6f 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 73 20 69 6e ......Polynomial.coefficients.in
d8e0 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 20 69 6e 63 72 65 61 73 69 6e 67 20 64 65 67 72 65 65 2c 20 69 2e 65 .order.of.increasing.degree,.i.e
d900 2e 2c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 60 60 28 31 2c 20 32 2c 20 33 29 60 60 20 67 69 76 65 20 60 60 .,.........``(1,.2,.3)``.give.``
d920 31 20 2b 20 32 2a 78 20 2b 20 33 2a 78 2a 2a 32 60 60 2e 0a 20 20 20 20 64 6f 6d 61 69 6e 20 3a 1.+.2*x.+.3*x**2``......domain.:
d940 20 28 32 2c 29 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 .(2,).array_like,.optional......
d960 20 20 20 44 6f 6d 61 69 6e 20 74 6f 20 75 73 65 2e 20 54 68 65 20 69 6e 74 65 72 76 61 6c 20 60 ...Domain.to.use..The.interval.`
d980 60 5b 64 6f 6d 61 69 6e 5b 30 5d 2c 20 64 6f 6d 61 69 6e 5b 31 5d 5d 60 60 20 69 73 20 6d 61 70 `[domain[0],.domain[1]]``.is.map
d9a0 70 65 64 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 74 6f 20 74 68 65 20 69 6e 74 65 72 76 61 6c 20 60 60 5b 77 ped.........to.the.interval.``[w
d9c0 69 6e 64 6f 77 5b 30 5d 2c 20 77 69 6e 64 6f 77 5b 31 5d 5d 60 60 20 62 79 20 73 68 69 66 74 69 indow[0],.window[1]]``.by.shifti
d9e0 6e 67 20 61 6e 64 20 73 63 61 6c 69 6e 67 2e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 64 65 66 61 ng.and.scaling..........The.defa
da00 75 6c 74 20 76 61 6c 75 65 20 69 73 20 5b 2d 31 2e 2c 20 31 2e 5d 2e 0a 20 20 20 20 77 69 6e 64 ult.value.is.[-1.,.1.]......wind
da20 6f 77 20 3a 20 28 32 2c 29 20 61 72 72 61 79 5f 6c 69 6b 65 2c 20 6f 70 74 69 6f 6e 61 6c 0a 20 ow.:.(2,).array_like,.optional..
da40 20 20 20 20 20 20 20 57 69 6e 64 6f 77 2c 20 73 65 65 20 60 64 6f 6d 61 69 6e 60 20 66 6f 72 20 .......Window,.see.`domain`.for.
da60 69 74 73 20 75 73 65 2e 20 54 68 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 20 76 61 6c 75 65 20 69 73 20 5b 2d its.use..The.default.value.is.[-
da80 31 2e 2c 20 31 2e 5d 2e 0a 20 20 20 20 73 79 6d 62 6f 6c 20 3a 20 73 74 72 2c 20 6f 70 74 69 6f 1.,.1.]......symbol.:.str,.optio
daa0 6e 61 6c 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 53 79 6d 62 6f 6c 20 75 73 65 64 20 74 6f 20 72 65 70 72 65 nal.........Symbol.used.to.repre
dac0 73 65 6e 74 20 74 68 65 20 69 6e 64 65 70 65 6e 64 65 6e 74 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 20 69 6e sent.the.independent.variable.in
dae0 20 73 74 72 69 6e 67 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 61 74 69 6f 6e 73 20 .string.........representations.
db00 6f 66 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 65 78 70 72 65 73 73 69 6f 6e 2c 20 65 2e of.the.polynomial.expression,.e.
db20 67 2e 20 66 6f 72 20 70 72 69 6e 74 69 6e 67 2e 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 54 68 65 20 73 79 6d g..for.printing..........The.sym
db40 62 6f 6c 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 61 20 76 61 6c 69 64 20 50 79 74 68 6f 6e 20 69 64 65 6e 74 bol.must.be.a.valid.Python.ident
db60 69 66 69 65 72 2e 20 44 65 66 61 75 6c 74 20 76 61 6c 75 65 20 69 73 20 27 78 27 2e 0a 0a 20 20 ifier..Default.value.is.'x'.....
db80 20 20 20 20 20 20 2e 2e 20 76 65 72 73 69 6f 6e 61 64 64 65 64 3a 3a 20 31 2e 32 34 0a 0a 20 20 .........versionadded::.1.24....
dba0 20 20 4e 63 03 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 05 00 00 00 03 00 00 00 f3 56 00 00 00 97 00 7c ..Nc.....................V.....|
dbc0 01 64 01 6b 28 00 00 72 05 64 02 7c 02 9b 00 9d 02 53 00 64 02 7c 02 9b 00 7c 01 6a 01 00 00 00 .d.k(..r.d.|.....S.d.|...|.j....
dbe0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 7c 00 6a 02 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ...............|.j..............
dc00 00 00 00 00 00 ab 01 00 00 00 00 00 00 9b 00 9d 03 53 00 29 03 4e da 01 31 f5 02 00 00 00 c2 b7 .................S.).N..1.......
dc20 29 02 da 09 74 72 61 6e 73 6c 61 74 65 da 14 5f 73 75 70 65 72 73 63 72 69 70 74 5f 6d 61 70 70 )...translate.._superscript_mapp
dc40 69 6e 67 29 03 da 03 63 6c 73 72 47 00 00 00 da 07 61 72 67 5f 73 74 72 73 03 00 00 00 20 20 20 ing)...clsrG.....arg_strs.......
dc60 72 28 00 00 00 da 11 5f 73 74 72 5f 74 65 72 6d 5f 75 6e 69 63 6f 64 65 7a 1c 50 6f 6c 79 6e 6f r(....._str_term_unicodez.Polyno
dc80 6d 69 61 6c 2e 5f 73 74 72 5f 74 65 72 6d 5f 75 6e 69 63 6f 64 65 39 06 00 00 73 36 00 00 00 80 mial._str_term_unicode9...s6....
dca0 00 e0 0b 0c 90 03 8a 38 d8 15 17 98 07 90 79 90 3e d0 0c 21 e0 15 17 98 07 90 79 a0 11 a7 1b a1 .......8......y.>..!......y.....
dcc0 1b a8 53 d7 2d 45 d1 2d 45 d3 21 46 d0 20 47 d0 13 48 d0 0c 48 72 29 00 00 00 63 02 00 00 00 00 ..S.-E.-E.!F..G..H..Hr)...c.....
dce0 00 00 00 00 00 00 00 04 00 00 00 03 00 00 00 f3 26 00 00 00 97 00 7c 00 64 01 6b 28 00 00 72 05 ................&.....|.d.k(..r.
dd00 64 02 7c 01 9b 00 9d 02 53 00 64 02 7c 01 9b 00 64 03 7c 00 9b 00 9d 04 53 00 29 04 4e 72 9e 00 d.|.....S.d.|...d.|.....S.).Nr..
dd20 00 00 fa 01 20 7a 02 2a 2a a9 00 29 02 72 47 00 00 00 72 a3 00 00 00 73 02 00 00 00 20 20 72 28 .....z.**..).rG...r....s......r(
dd40 00 00 00 da 0f 5f 73 74 72 5f 74 65 72 6d 5f 61 73 63 69 69 7a 1a 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c ....._str_term_asciiz.Polynomial
dd60 2e 5f 73 74 72 5f 74 65 72 6d 5f 61 73 63 69 69 40 06 00 00 73 28 00 00 00 80 00 e0 0b 0c 90 03 ._str_term_ascii@...s(..........
dd80 8a 38 d8 15 16 90 77 90 69 90 3d d0 0c 20 e0 15 16 90 77 90 69 98 72 a0 21 a0 13 d0 13 25 d0 0c .8....w.i.=.......w.i.r.!....%..
dda0 25 72 29 00 00 00 63 03 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 04 00 00 00 03 00 00 00 f3 3c 00 00 00 %r)...c.....................<...
ddc0 97 00 7c 02 72 06 64 01 7c 01 9b 00 64 02 9d 03 7d 01 7c 00 64 03 6b 28 00 00 72 01 79 04 7c 00 ..|.r.d.|...d...}.|.d.k(..r.y.|.
dde0 64 05 6b 28 00 00 72 02 7c 01 53 00 7c 01 9b 00 64 06 7c 00 9b 00 64 07 9d 04 53 00 29 08 4e 7a d.k(..r.|.S.|...d.|...d...S.).Nz
de00 06 5c 6c 65 66 74 28 7a 07 5c 72 69 67 68 74 29 72 1e 00 00 00 72 9e 00 00 00 72 20 00 00 00 7a .\left(z.\right)r....r....r....z
de20 02 5e 7b fa 01 7d 72 a7 00 00 00 29 03 72 47 00 00 00 72 a3 00 00 00 da 0c 6e 65 65 64 73 5f 70 .^{..}r....).rG...r......needs_p
de40 61 72 65 6e 73 73 03 00 00 00 20 20 20 72 28 00 00 00 da 10 5f 72 65 70 72 5f 6c 61 74 65 78 5f arenss.......r(....._repr_latex_
de60 74 65 72 6d 7a 1b 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 2e 5f 72 65 70 72 5f 6c 61 74 65 78 5f 74 65 72 termz.Polynomial._repr_latex_ter
de80 6d 47 06 00 00 73 3c 00 00 00 80 00 e1 0b 17 d8 19 1f a0 07 98 79 a8 07 d0 16 30 88 47 d8 0b 0c mG...s<..............y....0.G...
dea0 90 01 8a 36 d8 13 16 d8 0d 0e 90 21 8a 56 d8 13 1a 88 4e e0 16 1d 90 59 98 63 a0 21 a0 13 a0 42 ...6.......!.V....N....Y.c.!...B
dec0 d0 13 27 d0 0c 27 72 29 00 00 00 29 27 da 08 5f 5f 6e 61 6d 65 5f 5f da 0a 5f 5f 6d 6f 64 75 6c ..'..'r)...)'..__name__..__modul
dee0 65 5f 5f da 0c 5f 5f 71 75 61 6c 6e 61 6d 65 5f 5f da 07 5f 5f 64 6f 63 5f 5f da 0c 73 74 61 74 e__..__qualname__..__doc__..stat
df00 69 63 6d 65 74 68 6f 64 72 07 00 00 00 72 2f 00 00 00 72 08 00 00 00 72 34 00 00 00 72 0a 00 00 icmethodr....r/...r....r4...r...
df20 00 da 04 5f 6d 75 6c 72 0b 00 00 00 da 04 5f 64 69 76 72 0c 00 00 00 72 4a 00 00 00 72 0d 00 00 ..._mulr......_divr....rJ...r...
df40 00 da 04 5f 76 61 6c 72 10 00 00 00 da 04 5f 69 6e 74 72 0f 00 00 00 da 04 5f 64 65 72 72 13 00 ..._valr......_intr......_derr..
df60 00 00 72 90 00 00 00 72 06 00 00 00 da 05 5f 6c 69 6e 65 72 15 00 00 00 da 06 5f 72 6f 6f 74 73 ..r....r......_liner......_roots
df80 72 11 00 00 00 72 2c 00 00 00 72 24 00 00 00 72 25 00 00 00 72 05 00 00 00 da 06 64 6f 6d 61 69 r....r,...r$...r%...r......domai
dfa0 6e da 06 77 69 6e 64 6f 77 da 0a 62 61 73 69 73 5f 6e 61 6d 65 da 0b 63 6c 61 73 73 6d 65 74 68 n..window..basis_name..classmeth
dfc0 6f 64 72 a4 00 00 00 72 a8 00 00 00 72 ac 00 00 00 72 a7 00 00 00 72 29 00 00 00 72 28 00 00 00 odr....r....r....r....r)...r(...
dfe0 72 16 00 00 00 72 16 00 00 00 0c 06 00 00 73 e4 00 00 00 84 00 f1 02 18 05 08 f1 34 00 0c 18 98 r....r........s............4....
e000 07 d3 0b 20 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 0b 20 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 0b 20 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 .....D.........D.........D......
e020 0b 20 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 0b 20 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 0b 20 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 0b 20 ...D.........D.........D........
e040 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 0b 20 80 44 d9 0b 17 98 07 d3 0b 20 80 44 d9 0c 18 98 18 d3 0c 22 80 45 .D.........D.........D.......".E
e060 d9 0d 19 98 29 d3 0d 24 80 46 d9 11 1d 98 6d d3 11 2c 80 4a f0 06 00 0e 16 88 52 8f 58 89 58 90 ....)..$.F....m..,.J......R.X.X.
e080 6a d3 0d 21 80 46 d8 0d 15 88 52 8f 58 89 58 90 6a d3 0d 21 80 46 d8 11 15 80 4a e0 05 10 f1 02 j..!.F....R.X.X.j..!.F....J.....
e0a0 04 05 49 01 f3 03 00 06 11 f0 02 04 05 49 01 f0 0c 00 06 12 f1 02 04 05 26 f3 03 00 06 12 f0 02 ..I..........I..........&.......
e0c0 04 05 26 f0 0c 00 06 12 f1 02 08 05 28 f3 03 00 06 12 f1 02 08 05 28 72 29 00 00 00 72 16 00 00 ..&.........(.........(r)...r...
e0e0 00 29 01 4e 29 03 72 20 00 00 00 72 20 00 00 00 72 1e 00 00 00 29 01 54 29 03 4e 46 4e 29 2c 72 .).N).r....r....r....).T).NFN),r
e100 b0 00 00 00 da 07 5f 5f 61 6c 6c 5f 5f da 05 6e 75 6d 70 79 72 24 00 00 00 da 0c 6e 75 6d 70 79 ......__all__..numpyr$.....numpy
e120 2e 6c 69 6e 61 6c 67 da 06 6c 69 6e 61 6c 67 72 99 00 00 00 da 15 6e 75 6d 70 79 2e 6c 69 62 2e .linalg..linalgr......numpy.lib.
e140 61 72 72 61 79 5f 75 74 69 6c 73 72 1f 00 00 00 da 00 72 21 00 00 00 72 2b 00 00 00 da 09 5f 70 array_utilsr......r!...r+....._p
e160 6f 6c 79 62 61 73 65 72 22 00 00 00 da 08 74 72 69 6d 63 6f 65 66 72 14 00 00 00 72 25 00 00 00 olybaser".....trimcoefr....r%...
e180 72 05 00 00 00 72 02 00 00 00 72 03 00 00 00 72 04 00 00 00 72 06 00 00 00 72 11 00 00 00 72 07 r....r....r....r....r....r....r.
e1a0 00 00 00 72 08 00 00 00 72 09 00 00 00 72 0a 00 00 00 72 0b 00 00 00 72 0c 00 00 00 72 0f 00 00 ...r....r....r....r....r....r...
e1c0 00 72 10 00 00 00 72 0d 00 00 00 72 0e 00 00 00 72 17 00 00 00 72 19 00 00 00 72 18 00 00 00 72 .r....r....r....r....r....r....r
e1e0 1a 00 00 00 72 12 00 00 00 72 1b 00 00 00 72 1c 00 00 00 72 13 00 00 00 72 1d 00 00 00 72 15 00 ....r....r....r....r....r....r..
e200 00 00 72 16 00 00 00 72 a7 00 00 00 72 29 00 00 00 72 28 00 00 00 fa 08 3c 6d 6f 64 75 6c 65 3e ..r....r....r)...r(.....<module>
e220 72 c5 00 00 00 01 00 00 00 73 28 01 00 00 f0 03 01 01 01 f1 02 49 01 01 04 f2 54 02 06 0b 15 80 r........s(..........I....T.....
e240 07 f3 10 00 01 13 dd 00 19 dd 00 36 e5 00 1d dd 00 22 e0 0b 0d 8f 3b 89 3b 80 08 f0 10 00 0e 16 ...........6....."....;.;.......
e260 88 52 8f 58 89 58 90 73 98 42 90 69 d3 0d 20 80 0a f0 06 00 0c 14 88 32 8f 38 89 38 90 51 90 43 .R.X.X.s.B.i...........2.8.8.Q.C
e280 8b 3d 80 08 f0 06 00 0b 13 88 22 8f 28 89 28 90 41 90 33 8b 2d 80 07 f0 06 00 09 11 88 02 8f 08 .=........".(.(.A.3.-...........
e2a0 89 08 90 21 90 51 90 16 d3 08 18 80 05 f2 0e 23 01 1f f2 4c 01 3d 01 33 f2 40 02 21 01 1b f2 48 ...!.Q.........#...L.=.3.@.!...H
e2c0 01 22 01 1b f2 4a 01 27 01 0f f2 54 01 23 01 1b f2 4c 01 37 01 38 f3 74 01 24 01 32 f3 4e 01 4d ."...J.'...T.#...L.7.8.t.$.2.N.M
e2e0 01 01 0d f0 60 02 00 12 13 90 62 98 71 a0 61 a8 61 f3 00 72 01 01 0d f3 6a 03 5c 01 01 0e f3 7e ....`.....b.q.a.a..r....j.\....~
e300 02 54 01 01 22 f2 6e 02 31 01 27 f2 68 01 35 01 28 f2 70 01 32 01 2a f2 6a 01 38 01 2b f2 76 01 .T..".n.1.'.h.5.(.p.2.*.j.8.+.v.
e320 40 01 01 21 f2 46 02 4c 01 01 45 01 f2 5e 02 47 01 01 54 01 f3 54 02 57 02 01 3a f2 74 04 28 01 @..!.F.L..E..^.G..T..T.W..:.t.(.
e340 0f f2 56 01 3b 01 0d f4 44 02 44 01 01 28 90 1b f5 00 44 01 01 28 72 29 00 00 00 ..V.;...D.D..(....D..(r)...
generated by cgit v1.2.3 (git 2.25.1) at 2025-12-06 06:17:05 +0000